Singular limits for non-isentropic compressible rotating fluids

1. Problématique et Contexte

L'article étudie le comportement asymptotique des équations de Navier-Stokes-Korteweg (NSK) pour un fluide compressible, non isentropique et en rotation, dans la limite d'un nombre de Mach faible ($Ma$), d'un nombre de Rossby faible ($Ro$) et d'un nombre de Reynolds élevé ($Re$).

Le système physique considéré inclut :

• Effets de capillarité : Introduits via le tenseur de Korteweg, modélisant les interfaces diffuses (phénomènes de tension de surface).
• Rotation : Représentée par le terme de force de Coriolis ($\mathbf{e}_3 \times \mathbf{u}$).
• Non-isentropie : Prise en compte de l'équation de l'énergie et des variations de température.

Le domaine spatial est une plaque infinie $\Omega = \mathbb{R}^2 \times (0, 1)$ avec des conditions aux limites de glissement total (vitesse tangentielle libre, flux thermique nul, etc.).

Le paramètre petit $\varepsilon \in (0, 1]$ relie les nombres sans dimension : $Ma \sim \varepsilon$, $Ro \sim \varepsilon$, et $Re \sim 1/\varepsilon$. L'objectif est de déterminer vers quel système limite le système NSK converge lorsque $\varepsilon \to 0$, et de distinguer deux cas basés sur la présence ou l'absence du terme de dispersion capillaire dans l'équation de la quantité de mouvement, contrôlé par un paramètre $\alpha$ :

• Cas $\alpha = 1$ : Le terme de capillarité est présent mais son effet de dispersion est traité via des estimations d'ondes acoustiques.
• Cas $\alpha = 0$ : Le terme de capillarité domine à l'ordre $1/\varepsilon^2$, nécessitant une analyse par estimation d'erreur.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche analytique rigoureuse combinant des estimations d'énergie uniformes, l'analyse spectrale et la théorie des équations aux dérivées partielles (EDP).

A. Reformulation et Variables

Les variables de densité $\rho_\varepsilon$ et de température $\Theta_\varepsilon$ sont linéarisées autour de l'état d'équilibre $(1, 1)$ :
$$\rho_\varepsilon = 1 + \varepsilon q_\varepsilon, \quad \Theta_\varepsilon = 1 + \varepsilon \theta_\varepsilon$$
Cela permet de réécrire le système (1.3) en termes de perturbations $(q_\varepsilon, \mathbf{u}_\varepsilon, \theta_\varepsilon)$, mettant en évidence les termes singuliers en $1/\varepsilon$ et $1/\varepsilon^2$.

B. Cas $\alpha = 1$ : Estimations Uniformes et Analyse Acoustique

1. Estimations d'énergie uniformes : Les auteurs établissent des bornes a priori dans des espaces de Sobolev ($H^s$) pour les solutions fortes, indépendantes de $\varepsilon$. Cela repose sur l'utilisation de l'inégalité de Gronwall et de lemmes techniques (inégalités de commutateurs, inégalités de div-curl).
2. Analyse des ondes acoustiques : Pour traiter les oscillations rapides générées par les termes de pression et de rotation, les auteurs combinent les équations de la quantité de mouvement et de l'énergie pour former une équation d'onde acoustique couplée.
3. Théorème de RAGE : L'outil clé pour ce cas est le théorème de RAGE (Ruelle-Amrein-Georgescu-Enss). Il est utilisé pour démontrer que les composantes oscillantes (ondes acoustiques) se dispersent et convergent faiblement vers zéro dans des domaines compacts, laissant place à la dynamique lente.
4. Convergence : La limite est identifiée comme un système de type Euler 2D incompressible.

C. Cas $\alpha = 0$ : Estimation d'Erreur

1. Solution approchée : Les auteurs construisent une solution approchée basée sur la solution du système limite (Navier-Stokes incompressible 2D).
2. Analyse d'erreur : Ils définissent les variables d'erreur entre la solution exacte et la solution approchée. En multipliant les équations d'erreur par des poids appropriés et en intégrant, ils obtiennent une inégalité différentielle pour la norme d'erreur.
3. Lemme de Gronwall : L'utilisation du lemme de Gronwall permet de montrer que l'erreur reste bornée par $O(\varepsilon)$ sur un intervalle de temps fini, prouvant ainsi la convergence forte.

3. Résultats Clés et Contributions

Théorème 2 (Cas $\alpha = 1$)

• Convergence : Lorsque $\varepsilon \to 0$, la solution $(q_\varepsilon, \mathbf{u}_\varepsilon, \theta_\varepsilon)$ converge (faiblement ou faiblement-étoile selon les espaces) vers une limite $(q, \mathbf{u}, \theta)$.
• Structure de la limite :
  • La vitesse $\mathbf{u}$ et les variables thermodynamiques deviennent indépendantes de la coordonnée verticale $x_3$ (réduction 3D $\to$ 2D).
  • Le système limite satisfait les équations d'Euler 2D incompressibles pour la vorticité potentielle $\sigma = q + \theta$.
  • L'équation limite est : $\partial_t (\Delta_h \sigma - \sigma) + \nabla_h^\perp \sigma \cdot \nabla_h (\Delta_h \sigma) = 0$.
• Méthode : La preuve repose sur la dispersion des ondes acoustiques via le théorème de RAGE.

Théorème 3 (Cas $\alpha = 0$)

• Convergence forte : Pour des données initiales bien préparées (proches de l'état limite), la solution du système NSK converge fortement vers la solution des équations de Navier-Stokes incompressibles 2D.
• Taux de convergence : Il existe une constante $K$ indépendante de $\varepsilon$ telle que :
  $$\sup_{t \in [0, T^*]} \left( \|q_\varepsilon - \varepsilon^2 \pi\|_{H^{s+1}} + \|\mathbf{u}_\varepsilon - \mathbf{w}\|_{H^s} + \|\theta_\varepsilon - \varepsilon \pi\|_{H^s} \right) \leq K\varepsilon$$
  où $(\mathbf{w}, \pi)$ est la solution du système limite incompressible.
• Signification : Ce résultat valide l'approximation des fluides compressibles avec effets capillaires forts par des fluides incompressibles 2D dans le régime de haute rotation et faible Mach.

4. Signification et Impact

Cet article apporte plusieurs contributions majeures à la mécanique des fluides mathématique :

1. Unification des limites singulières : Il traite simultanément trois limites singulières (Mach faible, Rossby faible, Reynolds élevé) dans un cadre non isentropique, ce qui est plus complexe que les cas isentropiques ou sans rotation.
2. Rôle de la capillarité : L'article distingue clairement l'impact du coefficient de capillarité $\kappa$.
   • Dans le cas $\alpha=1$, la capillarité ne change pas la nature de la limite (Euler 2D), mais nécessite une analyse de dispersion fine.
   • Dans le cas $\alpha=0$, la capillarité devient dominante à l'échelle $1/\varepsilon^2$, modifiant la structure de l'équation de pression et nécessitant une approche par estimation d'erreur pour prouver la convergence vers Navier-Stokes incompressible.
3. Réduction dimensionnelle : Il confirme mathématiquement que la combinaison d'une rotation rapide et d'un nombre de Mach faible force le fluide à se comporter comme un fluide bidimensionnel, même en présence d'effets thermiques et capillaires complexes.
4. Outils analytiques : L'application du théorème de RAGE aux équations NSK non isentropiques et la construction d'estimations d'erreur précises pour les termes de Korteweg constituent des avancées méthodologiques importantes pour l'analyse des EDP hyperboliques-paraboliques.

En résumé, ce travail démontre la robustesse de la limite incompressible 2D pour les fluides compressibles en rotation, même lorsque des effets de surface complexes (capillarité) et des variations de température sont pris en compte.