Extrapolation of solvability of the parabolic $L^p$ Neumann problem on bounded Lipschitz cylinders

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque au problème de la solvabilité extrapolée pour le problème de Neumann parabolique dans des domaines bornés. Plus précisément, les auteurs étudient l'équation parabolique linéaire :
$$Lu = -\partial_t u + \text{div}(A\nabla u) = 0$$
définie sur un cylindre parabolique $\Omega = O \times \mathbb{R}$, où $O \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine Lipschitz borné (dans les variables spatiales).

Hypothèses sur les coefficients :
La matrice $A(X,t)$ est réelle, bornée, mesurable et dépendante du temps. Elle satisfait la condition d'ellipticité uniforme :
$$\lambda |\xi|^2 \leq \sum_{i,j} a_{ij}(X,t)\xi_i\xi_j \quad \text{et} \quad |A(X,t)| \leq \Lambda$$
pour presque tout $(X,t) \in \Omega$ et tout $\xi \in \mathbb{R}^n$. Aucune hypothèse de régularité supplémentaire (comme une condition de mesure de Carleson) n'est imposée sur les coefficients, ni de petiteur sur la norme Lipschitz du domaine.

Objectif principal :
Établir que si le problème de Neumann $L^p$ ($(N_p)_L$) et le problème de Dirichlet $L^{p'}$ pour l'opérateur adjoint ($(D_{p'})_{L^*}$) sont résolubles pour un certain $p \in (1, \infty)$, alors le problème de Neumann $L^q$ est résoluble pour tout $1 < q < p$. De plus, le cas $p=1$ est traité avec des données dans l'espace de Hardy atomique $\dot{H}^1_{ato}(\partial\Omega)$.

Ce résultat comble une lacune importante : une version similaire avait déjà été prouvée par le premier auteur avec Li et Pipher pour des domaines graphes non bornés ($\Omega = \{(x', x_n) : x_n > \phi(x')\} \times \mathbb{R}$), mais la méthode utilisée pour les domaines non bornés ne s'appliquait pas aux cylindres bornés en raison de la compacité et de la structure géométrique différente.

2. Méthodologie et Stratégie de Preuve

La preuve repose sur une stratégie d'extrapolation via l'interpolation réelle. Pour démontrer la résolubilité pour tout $q \in (1, p)$, il suffit de prouver la borne de l'extrémité $p=1$ pour l'opérateur non linéaire $T : g \mapsto \tilde{N}(\nabla u)$, où $\tilde{N}$ est la fonction maximale non-tangentielle modifiée.

Stratégie globale :

1. Réduction aux atomes : On considère des données de Neumann $g$ qui sont des atomes $L^\infty$ (support compact, moyenne nulle, norme $L^\infty$ contrôlée par l'inverse de la mesure du support).
2. Estimation $L^1$ : L'objectif est de montrer que $\|\tilde{N}(\nabla u)\|_{L^1(\partial\Omega)} \leq C$ uniformément pour tout atome $g$.
3. Décomposition en deux cas : La preuve distingue deux cas selon la taille $r$ du support de l'atome par rapport à la taille caractéristique du domaine (diamètre $d$).

A. Cas des "Grands Atomes" ($r \gtrsim 1$)

Lorsque le support de l'atome est grand par rapport au domaine spatial $O$ :

• On utilise l'hypothèse de résolubilité $L^p$ et l'inégalité de Hölder pour borner la norme $L^1$ locale.
• Pour les temps $t$ éloignés du support de $g$, on exploite la décroissance exponentielle de la solution. Un lemme clé (Lemme 4.3) montre que si la donnée de Neumann est nulle sur un intervalle de temps, la norme $L^1$ de la fonction maximale décroît exponentiellement avec la distance temporelle. Cette décroissance est obtenue via l'inégalité de Caccioppoli, l'inégalité de Sobolev et l'inégalité de Gronwall.

B. Cas des "Petits Atomes" ($r < 1$)

C'est la partie la plus technique et la plus novatrice de l'article, car elle nécessite de traiter la géométrie locale du bord Lipschitz.

• Localisation : Grâce à la compacité du bord Lipschitz, on peut couvrir le support de l'atome par un nombre fini de cylindres locaux $Z_j$. On se ramène donc à un atome supporté dans un seul patch de coordonnées.
• Extension vers un domaine non borné (Idée clé) : Pour contourner la difficulté liée au domaine borné, les auteurs construisent un domaine auxiliaire non borné $\tilde{\Omega} = \tilde{O} \times \mathbb{R}$, où $\tilde{O}$ est un domaine graphe défini par une fonction Lipschitz $\tilde{\phi}$ qui coïncide avec le bord local de $O$ près de l'atome mais s'étend à l'infini.
• Opérateur étendu : Ils étendent également les coefficients $A$ en une matrice $\tilde{A}$ sur $\tilde{\Omega}$ de manière à ce que l'équation soit identique à l'originale dans la région d'intérêt.
• Problème auxiliaire : Ils résolvent un problème de Neumann sur ce nouveau domaine non borné $\tilde{\Omega}$ avec la même donnée $g$. Notons $w$ la solution sur $\tilde{\Omega}$ et $u$ la solution sur $\Omega$.
• Différence $u - w$ : Puisque $u$ et $w$ satisfont la même équation et ont les mêmes données de Neumann sur la région de chevauchement, leur différence $u-w$ a une donnée de Neumann nulle sur cette région. On applique alors le théorème de régularité (Théorème 3.4) à $u-w$ pour contrôler la différence.
• Estimation de $w$ sur le domaine non borné : Pour contrôler $w$ sur le domaine non borné, les auteurs utilisent une réflexion paire (méthode de Brown) à travers le bord du graphe. Cela permet d'étendre la solution à tout l'espace (hors d'une petite boule) et d'utiliser les bornes de la fonction de fondamentale (bornes d'Aronson) et le principe du maximum pour obtenir une décroissance spatiale rapide ($|w| \leq C e^{-c|X|^2}$).
• Absorption des termes : En combinant les estimations locales (via l'inégalité de Caccioppoli et l'intégration par parties) et la décroissance globale, ils obtiennent une inégalité de type :
  $$\| \tilde{N}(\nabla u) \|_{L^1} \leq C K + C \varepsilon K^{-1} \| \tilde{N}(\nabla u) \|_{L^1}$$
  En choisissant le paramètre $K$ (lié à la décomposition temporelle de l'atome) suffisamment grand, le terme de droite peut être absorbé par le membre de gauche, prouvant ainsi la borne uniforme.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.3 :
Soit $\Omega = O \times \mathbb{R}$ avec $O$ un domaine Lipschitz borné. Si le problème de Neumann $L^p$ pour $L$ et le problème de Dirichlet $L^{p'}$ pour l'adjoint $L^*$ sont résolubles pour un $p \in (1, \infty)$, alors :

1. Le problème de Neumann $L^q$ est résoluble pour tout $1 < q < p$.
2. Le problème de Neumann est résoluble pour $p=1$ avec des données dans l'espace de Hardy atomique $\dot{H}^1_{ato}(\partial\Omega)$.

4. Contributions Clés et Innovations

1. Adaptation aux domaines bornés : L'article résout le problème ouvert de l'extrapolation pour les cylindres bornés, un cas qui ne découle pas trivialement des résultats sur les domaines graphes non bornés.
2. Technique d'extension auxiliaire : L'introduction d'un domaine non borné $\tilde{\Omega}$ et d'un opérateur étendu $\tilde{A}$ pour traiter les petits atomes est une innovation méthodologique majeure. Elle permet d'utiliser des outils puissants (comme la réflexion et les estimations sur $\mathbb{R}^{n+1}$) dans un contexte de domaine borné.
3. Absence de petites hypothèses : Contrairement à des travaux précédents (comme [6]) qui nécessitaient des conditions de petiteur sur la norme Lipschitz du domaine ou sur les coefficients (condition de Carleson), ce résultat est valable pour des coefficients et des domaines Lipschitz généraux, sous réserve uniquement de la résolubilité $L^p$ initiale.
4. Complétude de la théorie : Ce travail complète la compréhension des problèmes aux limites paraboliques, alignant le cas Neumann avec les résultats connus pour les problèmes de Dirichlet et de régularité.

5. Signification

Ce résultat est fondamental pour l'analyse des équations aux dérivées partielles paraboliques. Il établit que la résolubilité dans un espace $L^p$ implique automatiquement la résolubilité dans un intervalle d'espaces $L^q$ plus petits, sans nécessiter de régularité supplémentaire des coefficients. Cela renforce la robustesse de la théorie des problèmes aux limites pour les opérateurs paraboliques à coefficients mesurables et ouvre la voie à l'application de ces résultats à des géométries complexes et bornées, fréquentes en physique et en ingénierie.