Regularity criterion for the 3D generalized Newtonian fluids

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'analyse mathématique des écoulements instationnaires tridimensionnels de fluides newtoniens généralisés, régis par le système d'équations (1.1) :
$$\begin{cases} u_t - \text{div}(|Du|^{p-2}Du) + (u \cdot \nabla)u + \nabla \pi = 0 \\ \text{div } u = 0 \\ u(\cdot, 0) = u_0 \end{cases}$$
où $u$ est la vitesse, $\pi$ la pression, et $Du$ la partie symétrique du gradient de vitesse. L'exposant $p > 1$ caractérise le comportement rhéologique du fluide :

• $1 < p < 2$ : fluide à cisaillement mince (shear-thinning).
• $p = 2$ : fluide newtonien classique (équations de Navier-Stokes).
• $p > 2$ : fluide à cisaillement épais (shear-thickening).

Le problème central est l'existence et l'unicité de solutions régulières (fortes) pour ces équations. Bien que l'existence de solutions faibles soit établie pour $p > 1$, la régularité de ces solutions reste un problème ouvert, particulièrement pour l'intervalle critique $5/3 < p < 11/5$. L'objectif de l'article est d'établir un critère de régularité garantissant qu'une solution faible devient une solution forte, en se basant sur la régularité du gradient de vitesse $\nabla u$ dans des espaces de Besov homogènes critiques.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une analyse énergétique fine et l'utilisation d'inégalités d'interpolation avancées dans les espaces de Besov.

A. Estimation Énergétique

En multipliant l'équation de mouvement par $\Delta u$ et en intégrant sur $\mathbb{R}^3$, les auteurs obtiennent une équation d'énergie pour la norme $L^2$ du gradient de vitesse :
$$\frac{1}{2}\frac{d}{dt}\|\nabla u\|_{L^2}^2 + S \leq c_1 \int_{\mathbb{R}^3} |\nabla u|^3 dx$$
où $S = \int |Du|^{p-2}|\nabla^2 u|^2 dx$ est un terme de dissipation positif. Le défi principal consiste à majorer le terme non linéaire $\int |\nabla u|^3 dx$ par le terme de dissipation $S$ et des normes contrôlées.

B. Inégalité de Gagliardo-Nirenberg Améliorée

L'innovation méthodologique clé réside dans l'utilisation d'une inégalité d'interpolation spécifique (Lemme 2.3) reliant les espaces de Lebesgue et les espaces de Besov homogènes à indice de régularité négatif ($\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}$). Pour une fonction $f$, cette inégalité s'écrit :
$$\|f\|_{L^m} \leq c_0 \|f\|_{\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}}^\theta \|f\|_{L^n}^{1-\theta}$$
Cette inégalité permet de contrôler la norme $L^3$ de $\nabla u$ en utilisant la norme $\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}$ (supposée bornée par hypothèse) et la norme $L^2$ (ou $L^{3p}$ selon le cas).

C. Traitement par Cas

Les auteurs distinguent deux régimes pour $p$ :

1. Cas $5/3 < p < 2$ (Shear-thinning) : Ils utilisent une interpolation entre $L^{3p}$ et $L^q$ (avec $q < 2$). L'application de l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg permet de lier $\|\nabla u\|_{L^3}$ à $\|\nabla u\|_{\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}}$ et $\|\nabla u\|_{L^2}$.
2. Cas $2 \leq p < 11/5$ (Shear-thickening) : Ils utilisent une interpolation entre $L^2$ et $L^q$ (avec $q > 3$), en exploitant le fait que $\nabla u \in L^{3p}$ (Lemme 2.2).

Dans les deux cas, ils choisissent judicieusement les paramètres d'interpolation pour que le terme de dissipation $S$ puisse absorber la partie critique du terme non linéaire via l'inégalité de Young, laissant un terme contrôlé par la norme de Besov.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 1.1) établit le critère de régularité suivant :

Soit $5/3 < p < 11/5$ et $u_0 \in W^{1,2}_\sigma \cap W^{1,p}$. Si une solution faible $u$ satisfait la condition :
$$\nabla u \in L^{\frac{2}{2-(3-p)a}}(0, T; \dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}(\mathbb{R}^3))$$
alors $u$ est une solution forte sur $\mathbb{R}^3 \times (0, T]$.

Les contraintes sur le paramètre $a$ sont :

• Si $5/3 < p < 2$ : $a \in (3/2, \frac{2}{3-p})$.
• Si $2 \leq p < 11/5$ : $a \in (1/p, \frac{2}{3-p})$.

Conséquences immédiates :

• Ce critère est invariant d'échelle par rapport au système (1.1).
• Il généralise et améliore les critères antérieurs basés sur les espaces de Lebesgue (comme ceux de Zhang-Wang ou Sin-Baranovskii) en les étendant aux espaces de Besov à indice négatif.
• Grâce aux équivalences de normes (Lemme 1.14), le critère peut également être formulé en termes de la vitesse $u$ elle-même ou du rotationnel $\nabla \times u$.

4. Contributions Clés et Originalité

1. Extension aux espaces de Besov : L'article comble un vide dans la littérature en passant des espaces de Lebesgue classiques ($L^\alpha$) aux espaces de Besov homogènes $\dot{B}^{-a}_{\infty,\infty}$. Cela permet d'inclure des fonctions plus singulières (comme $|x|^{-3/a}$) qui ne sont pas dans $L^\alpha$, élargissant ainsi la classe de solutions admissibles pour la régularité.
2. Unification des régimes : Le résultat couvre simultanément les fluides à cisaillement mince ($p<2$) et épais ($p \geq 2$) dans la fenêtre critique $5/3 < p < 11/5$, un intervalle où l'existence de solutions fortes globales n'est pas garantie sans conditions supplémentaires.
3. Nouvelle technique d'estimation : L'utilisation de l'inégalité de Gagliardo-Nirenberg améliorée (Lemme 2.3) appliquée spécifiquement au terme $\|\nabla u\|_{L^3}$ est la clé technique qui permet de fermer les estimations énergétiques sans recourir à des hypothèses trop restrictives.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour la théorie des équations aux dérivées partielles non linéaires et la mécanique des fluides complexes :

• Il fournit des conditions suffisantes précises pour garantir la régularité des solutions, ce qui est une étape cruciale vers la résolution du problème de l'unicité et de la régularité globale pour les fluides non newtoniens.
• Il démontre que la régularité peut être assurée même si le gradient de vitesse n'est pas borné dans des espaces classiques, mais seulement dans des espaces de Besov à régularité négative, ce qui est une avancée conceptuelle majeure.
• Les résultats ouvrent la voie à de futures études sur les critères de régularité basés sur des composantes spécifiques de la vitesse ou du gradient, et sur l'extension de ces méthodes à d'autres modèles de fluides complexes.

En résumé, Liu et Shi réussissent à unifier et à affiner les critères de régularité existants en exploitant la structure fine des espaces de Besov, offrant ainsi une compréhension plus profonde du comportement des solutions des équations de fluides généralisés.