Buchstaber, Ochanine, Krichever, and Witten genera

Titre : Lois de groupes formels, construction du carré de module et le genre de Buchstaber

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la topologie algébrique, plus précisément dans la théorie des cobordismes complexes ($\Omega_U$) et des genres de Hirzebruch. Le problème central est l'étude des lois de groupes formels à deux valeurs (two-valued formal groups) et leur relation avec les genres classiques (Ochanine, Krichever, Witten).

Dans un travail antérieur ([Buc90]), Buchstaber a introduit une famille de polynômes $B_a(z; x, y)$ définissant des groupes formels à deux valeurs universels. Ces groupes sont obtenus via la construction du carré de module (modulus square construction) appliquée à une classe de groupes formels à une valeur $F(u, v)$.

• Le défi : Bien que la classe des groupes $F(u, v)$ (associée au genre de Krichever) soit bien comprise, la relation exacte entre les polynômes de Buchstaber et les lois de groupes formels sous-jacentes restait à clarifier, notamment pour identifier si de nouveaux genres apparaissent en dehors des genres elliptiques de niveau $n$ de Hirzebruch.
• L'objectif : Introduire une nouvelle classe de lois de groupes formels à une valeur dont la construction du carré de module redonne exactement la famille de Buchstaber, et étudier les propriétés du genre de Hirzebruch associé.

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche combinant la théorie des groupes formels, l'analyse complexe (fonctions elliptiques de Weierstrass) et la topologie des cobordismes.

• Construction du carré de module : L'article rappelle la construction géométrique où un groupe abélien $G$ est transformé en un groupe à deux valeurs sur l'espace des orbites $G/\sigma$ (où $\sigma(g) = -g$). Au niveau infinitésimal, cela correspond à passer d'une loi de groupe formel $F(u, v)$ avec logarithme $g(u)$ à une loi à deux valeurs définie par les racines d'un polynôme quadratique lié à $B(x) = -g(u)^2$ (avec $x=u^2$).
• Définition d'une nouvelle classe de groupes : Kornev introduit explicitement une nouvelle loi de groupe formel à une valeur, notée $F_{Bc}(u, v)$, dépendant de trois paramètres $a_1, a_2, a_3$. Cette loi est définie par une expression impliquant un polynôme $Q(t) = 1 - a_1t^2 + a_2t^4 - a_3t^6$.
• Analyse des logarithmes et exponentielles : L'auteur calcule le logarithme $g_{Bc}(u)$ et l'exponentielle $f_{Bc}(u)$ de ce nouveau groupe. Il établit un lien direct avec les fonctions elliptiques de Weierstrass ($\wp, \sigma, \zeta$) en exprimant les paramètres $g_2$ et $g_3$ de la fonction $\wp$ en fonction de $a_1, a_2, a_3$.
• Calcul des invariants : Le genre de Hirzebruch associé (le genre de Buchstaber) est évalué sur des variétés spécifiques : les diviseurs thêta lisses ($\Theta_n$) et les espaces projectifs complexes ($\mathbb{C}P^n$).
• Comparaison et contre-exemples : L'auteur compare ce nouveau genre avec les genres d'Ochanine, de Krichever et de Witten, en cherchant des éléments dans l'anneau de cobordisme sur lesquels ces genres diffèrent.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Introduction du Genre de Buchstaber
L'article définit un nouveau genre de Hirzebruch, noté $B_c$, associé à la loi de groupe formel $F_{Bc}(u, v)$.

• Loi du groupe :
  $$F_{Bc}(u, v) = \left[ \left( \frac{u\sqrt{Q(v)} - v\sqrt{Q(u)}}{u^2 - v^2} \right)^2 + a_3 u^2 v^2 \right]^{-1/2}$$
  où $Q(t) = 1 - a_1t^2 + a_2t^4 - a_3t^6$.
• Logarithme et Exponentielle :
  Le logarithme est donné par une intégrale elliptique :
  $$g_{Bc}(u) = \int_0^u \frac{dt}{\sqrt{1 - a_1t^2 + a_2t^4 - a_3t^6}}$$
  L'exponentielle est l'inverse de cette intégrale, exprimée via la fonction $\wp$ de Weierstrass avec des paramètres modifiés ($g_2, -g_3$).

B. Relation avec les Génres Existants

• Intersection avec Ochanine : L'intersection de la nouvelle classe $F_{Bc}$ et de la classe de Krichever $F$ correspond exactement au genre d'Ochanine (genre elliptique), ce qui se produit lorsque $a_3 = 0$.
• Distinction des genres elliptiques de niveau $n$ : Pour $a_3 \neq 0$, le genre de Buchstaber est distinct des genres elliptiques de niveau $n$ introduits par Hirzebruch. Il s'agit d'un exemple de genre qui ne provient pas de la construction standard des genres elliptiques de niveau $n$.

C. Calculs sur les Diviseurs Thêta et $\mathbb{C}P^n$
L'auteur calcule les valeurs du genre $B_c$ sur les classes de cobordisme des diviseurs thêta $\Theta_n$ et des espaces projectifs $\mathbb{C}P^n$.

• Propriété d'intégralité : Les valeurs $B_c(\Theta_n)$ appartiennent à l'anneau $\mathbb{Z}[a_1, a_2, a_3]$.
• Valeurs explicites :
  • $B_c(\Theta_2) = -a_1$
  • $B_c(\Theta_4) = a_1^2 + 12a_2$
  • $B_c(\Theta_6) = -a_1^3 - 132a_1a_2 - 360a_3$
  • Pour les espaces projectifs impairs, la valeur est nulle. Pour les pairs, des formules polynomiales en $a_i$ sont données.

D. Séparation des Genres (Propositions 5 et 6)

• Différence avec le genre de Krichever : Il existe un élément $K \in \Omega_U^{-12}$ (un polynôme spécifique en les classes $\Theta_i$) tel que le genre de Krichever (tensé par $\mathbb{Q}$) s'annule sur $K$, tandis que le genre de Buchstaber ne s'annule pas (sa valeur est $-360a_3$). Cela prouve que le genre de Buchstaber contient plus d'information que le genre de Krichever dans certaines dimensions.
• Séries de Hurwitz : Pour le cas $a_1=0$, l'auteur démontre que l'exponentielle du genre de Buchstaber est une série de Hurwitz sur l'anneau $\mathbb{Z}[g_2, g_3]$. Cela répond partiellement à des conjectures sur la nature arithmétique des séries exponentielles des genres elliptiques.

4. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

1. Classification : Il affine la classification des groupes formels à deux valeurs en identifiant une nouvelle famille universelle qui englobe le genre d'Ochanine mais s'en distingue lorsque $a_3 \neq 0$.
2. Nouveaux Invariants : Il fournit de nouveaux invariants de cobordisme (le genre de Buchstaber) qui permettent de distinguer des classes de variétés que les genres classiques (Krichever, Witten) ne peuvent pas séparer, notamment en dimension 12.
3. Lien Géométrique : Il établit un pont explicite entre la construction algébrique des groupes à deux valeurs de Buchstaber et une loi de groupe formel à une valeur explicite, reliant ainsi la théorie des cobordismes complexes à la théorie des fonctions elliptiques de manière plus fine.
4. Arithmétique : La preuve que l'exponentielle est une série de Hurwitz sur un anneau d'entiers spécifiques enrichit la compréhension des propriétés arithmétiques des genres de Hirzebruch.

En résumé, Kornev démontre que la construction du carré de module appliquée à une classe spécifique de groupes formels elliptiques génère une famille de genres plus large que celle des genres elliptiques de niveau $n$, ouvrant la voie à de nouvelles explorations en topologie algébrique et en théorie des nombres.