Explicit isomorphisms for a Herr-type complex over a metabelian extension

1. Problématique et Contexte

Le papier s'inscrit dans le cadre de la théorie de Hodge $p$-adique et vise à généraliser les résultats de cohomologie galoisienne aux familles de représentations.

• Contexte classique : Pour une représentation $p$-adique $V$ du groupe de Galois absolu $G_K$ d'un corps $p$-adique $K$, la théorie des modules $(\varphi, \Gamma)$ (Fontaine, Herr) permet de calculer la cohomologie galoisienne $H^i(G_K, V)$ via un complexe explicite (le complexe de Herr).
• Extension aux familles : Pottharst a étendu ces résultats aux familles de représentations (modules sur des algèbres de Banach $S$) dans le cas cyclotomique, en utilisant des modules $(\varphi, \Gamma)$.
• Le défi spécifique : L'objectif de ce papier est de traiter le cas des extensions métabéliennes (plus précisément, la tour de Kummer $K_\infty$ combinée à l'extension cyclotomique $K_{cycl}$). Contrairement au cas cyclotomique où le groupe de Galois est abélien, le groupe $G_\infty = \text{Gal}(L/K)$ (où $L = K_\infty K_{cycl}$) est non abélien (métabélien).
• Difficulté principale : La méthode de Pottharst repose sur la nullité de $H^2(\Gamma, V)$ pour le groupe cyclotomique $\Gamma$. Ici, le groupe $G_\infty$ possède une cohomologie non triviale en degré 2 ($H^2(G_\infty, V^{H_\infty}) \neq 0$), ce qui empêche l'application directe des arguments de Pottharst et nécessite une construction plus fine des isomorphismes explicites.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche basée sur les modules $(\varphi, \tau)$ (introduits par Tavares Ribeiro et Caruso) adaptés aux familles de représentations.

A. Cadre Géométrique et Algébrique

• Extensions : Soit $K_\infty = \bigcup K(\pi_n)$ la tour de Kummer et $K_{cycl} = \bigcup K(\varepsilon_n)$ l'extension cyclotomique. Soit $L = K_\infty K_{cycl}$.
• Groupes de Galois :
  • $G_\infty = \text{Gal}(L/K)$, engendré topologiquement par $\gamma$ (provenant de $\text{Gal}(K_{cycl}/K)$) et $\tau$ (provenant de $\text{Gal}(L/K_{cycl})$).
  • Relation clé : $g\tau g^{-1} = \tau \chi_{cycl}(g)$ pour $g \in \Gamma_K$.
  • $H_\infty = \text{Gal}(\bar{K}/L)$.
• Famille de représentations : $V$ est un module libre de rang fini sur une algèbre de Banach $S$ (sur $\mathbb{Q}_p$) munie d'une action continue de $G_K$.

B. Outils Théoriques

1. Modules $(\varphi, \tau)$ pour les familles : Utilisation des résultats de Kedlaya et Poyeton ([KP23]) pour associer à $V$ une famille de modules $(\varphi, \tau)$, notée $D^\dagger_{\tau, K}(V)$, définie sur des anneaux de périodes surconvergents $S \widehat{\otimes} B^\dagger_{\tau, K}$.
2. Complexes de calcul de cohomologie :
   • Pour les modules $G_\infty$, ils construisent un complexe à trois termes généralisant le complexe de Herr, tenant compte de la relation non commutative entre $\gamma$ et $\tau$.
   • Pour les modules $H_\infty$, ils utilisent la propriété que $H_\infty$ est le groupe de Galois d'un corps de caractéristique $p$ (théorie de Fontaine-Wintenberger), ce qui implique que sa cohomologie en degré $\ge 2$ est nulle.

C. Stratégie de Preuve

La preuve repose sur la construction d'un diagramme commutatif reliant deux suites exactes :

1. La suite exacte d'inflation-restriction (Hochschild-Serre) pour la cohomologie galoisienne de $V$ :
   $$0 \to H^1(G_\infty, V^{H_\infty}) \to H^1(G_K, V) \to H^1(H_\infty, V)^{G_\infty} \to H^2(G_\infty, V^{H_\infty}) \to H^2(G_K, V) \to \dots$$
2. Une suite exacte analogue construite à partir de la cohomologie du complexe de $(\varphi, \tau)$-modules.

Les auteurs définissent des applications explicites ($h_1$ et $h_2$) entre les termes de ces suites et utilisent le Lemme des cinq pour prouver qu'elles sont des isomorphismes. La difficulté technique majeure réside dans la construction explicite de l'application $h_2$ pour le degré 2, qui nécessite des calculs précis de cocycles et de relèvements dans les anneaux de périodes.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Construction d'un Complexe Explicite

Le résultat central (Théorème 26) est la construction d'un complexe à quatre termes (en réalité, un complexe de longueur 3 avec des termes doubles) dont la cohomologie est isomorphe à la cohomologie galoisienne de la famille $V$.

Soit $D^r_L$ le module $(\varphi, \tau)$ étendu aux anneaux de périodes sur $L$. Le complexe est :
$$0 \to D^r_L \xrightarrow{d_0} (D^{pr}_L \oplus D^r_L \oplus D^r_L) \xrightarrow{d_1} (D^{pr}_L \oplus D^{pr}_L \oplus D^r_L) \xrightarrow{d_2} D^{pr}_L \to 0$$

Les différentielles sont données par des matrices explicites impliquant :

• $\varphi - 1$ (opérateur de Frobenius),
• $\gamma - 1$ et $\tau - 1$ (opérateurs d'action galoisienne),
• $\delta = \tau \chi(\gamma)^{-1} \tau^{-1}$ (opérateur lié à la relation de commutation).

La matrice $d_1$ est particulièrement complexe, intégrant les relations de commutation entre $\gamma$ et $\tau$ via le terme $1 - \delta^{-1}\gamma$.

B. Isomorphismes Explicites

Contrairement aux preuves d'existence précédentes, les auteurs fournissent des formules explicites pour les isomorphismes :

• Degré 1 ($h_1$) : Relie un cocycle $c \in H^1(G_K, V)$ à un triplet dans le noyau de $d_1$ modulo l'image de $d_0$.
• Degré 2 ($h_2$) : Relie un cocycle $c \in H^2(G_K, V)$ à un triplet dans le noyau de $d_2$ modulo l'image de $d_1$. La construction de $h_2$ est la partie la plus technique, nécessitant le choix de relèvements spécifiques dans les anneaux de périodes et l'utilisation de sections continues pour l'opérateur $\varphi - 1$.

C. Généralisation et Spécialisation

• Le résultat est valable pour des familles de représentations sur des algèbres de Banach $S$ arbitraires (algèbres affinoides).
• En spécialisant $S$ à une extension finie de $\mathbb{Q}_p$, le complexe obtenu coïncide avec celui construit par Tavares Ribeiro ([Tav11]), offrant ainsi une nouvelle preuve de son résultat.

4. Signification et Impact

• Fondements pour la théorie des familles : Ce travail établit les propriétés fondamentales de la cohomologie des familles de modules $(\varphi, \tau)$, comblant un vide théorique entre les cas cyclotomiques (Pottharst) et les extensions métabéliennes.
• Applications potentielles : Ces complexes explicites sont des outils essentiels pour l'étude des déformations galoisiennes, la théorie d'Iwasawa non-commutative, et l'analyse des modèles intégraux des variétés de Shimura dans des contextes de familles.
• Technique de preuve : La méthode développée pour gérer la cohomologie non triviale en degré 2 du groupe $G_\infty$ (via le Lemme des cinq et des calculs de cocycles précis) ouvre la voie à l'analyse d'autres extensions non abéliennes dans le cadre $p$-adique.

En résumé, ce papier fournit une généralisation robuste et explicite de la théorie de Herr aux familles de représentations sur des extensions métabéliennes, en surmontant les obstacles liés à la non-commutativité du groupe de Galois et à la cohomologie de degré supérieur.