Lipschitz regularity for parabolic fractional $p$-Laplace equations

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la régularité des solutions faibles locales de l'équation parabolique non linéaire et non locale suivante :
$$\partial_t u + L_K u = 0 \quad \text{dans } \Omega \times I$$
où l'opérateur non local $L_K$ est défini par :
$$L_K u(x, t) := \text{P.V.} \int_{\mathbb{R}^N} |u(x, t) - u(y, t)|^{p-2}(u(x, t) - u(y, t)) K(x-y) \, dy$$
avec $1 < p < \infty$, $s \in (0, 1)$, et un noyau $K$ symétrique satisfaisant des bornes d'ellipticité standards :
$$\frac{\lambda}{|z|^{N+sp}} \le K(z) \le \frac{\Lambda}{|z|^{N+sp}}$$
Le noyau $K$ n'est pas supposé continu (il peut être discontinu). Le cas modèle est l'équation du $p$-Laplacien fractionnaire $\partial_t u + (-\Delta_p)^s u = 0$.

Le problème central est d'établir la régularité Lipschitzienne en espace (uniforme en temps) des solutions lorsque la condition $sp > p - 1$ est satisfaite.

• Jusqu'à présent, la régularité Hölderienne était bien établie (avec des exposants non explicites ou optimaux mais inférieurs à 1).
• La question de savoir si les solutions sont réellement Lipschitziennes ($C^{0,1}$) dans le régime parabolique restait ouverte, notamment pour $1 < p < 2$ et pour des noyaux discontinus.

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche basée sur la méthode de viscosité et la technique Ishii–Lions, adaptée au contexte non local et non linéaire. Cette méthode diffère des approches classiques de type De Giorgi-Nash-Moser qui ne donnent généralement que des exposants Höldériens petits.

Les étapes clés de la preuve sont :

1. Réduction par échelle et normalisation :

   • Le problème est ramené à une échelle normalisée sur un cylindre fixe $B_2 \times (-2, 0]$.
   • Une distinction est faite entre le cas $p \ge 2$ (sur-croissance) et $1 < p < 2$ (sous-croissance). Pour $1 < p < 2$, la normalisation implique un rééchelonnage spatial spécifique pour absorber la norme $L^\infty$ de la solution et de sa "queue" (tail).

2. Lemme de contact (Touching Lemma) :

   • L'opérateur est décomposé en une partie locale (intégrale sur une boule $B_1$) et une partie de queue (intégrale sur le complément).
   • La partie de queue est traitée comme une source bornée $f \in L^\infty$, grâce à l'hypothèse que la queue de la solution est bornée ($u \in L^\infty_{loc}(I; L^{p-1}_{sp}(\mathbb{R}^N))$).
   • Le lemme de contact permet de comparer la solution $u$ à des fonctions tests lisses $\phi$ en un point de contact, en utilisant la continuité de l'opérateur tronqué.

3. Fonctionnels Ishii–Lions paramétrés :

   • Contrairement à l'utilisation classique du lemme de Jensen-Ishii pour générer des jets limites, l'auteur utilise une famille paramétrée de fonctionnels pour éviter les arguments de "blow-up" et les théorèmes de Liouville.
   • Deux profils de pénalisation sont utilisés :
     • Un profil Hölderien $\phi_\gamma(r) = r^\gamma$ pour la bootstrap de régularité.
     • Un profil presque linéaire $\tilde{\phi}(r) = r + \frac{r}{\log r}$ pour atteindre la régularité Lipschitzienne. Ce profil est crucial car il est strictement concave, permettant de gérer les termes d'intégrale singuliers sans que les estimations ne divergent (ce qui échouerait avec un profil purement linéaire $r$).

4. Estimations intégrales et inégalité maîtresse :

   • En maximisant une fonction de gap $g(x, y, t)$, l'auteur dérive une inégalité maîtresse reliant les opérateurs tronqués évalués en deux points proches.
   • Le domaine d'intégration est décomposé géométriquement en quatre régions (cône, couronne intérieure, couronne extérieure, queue).
   • Des estimations précises montrent que le terme dominant (provenant de la région proche) diverge vers $+\infty$ lorsque le paramètre de pénalisation $L \to \infty$, tandis que les termes de queue restent bornés, conduisant à une contradiction si la régularité Lipschitzienne n'est pas satisfaite.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 1.1) établit que pour toute solution faible locale $u$ dans un domaine $Q_{2R, 2R^{sp}}(x_0, t_0)$, la fonction $u(\cdot, t)$ est localement Lipschitzienne en espace, uniformément en temps, sous la condition $sp > p - 1$.

Les estimations obtenues sont :

• Cas $p \ge 2$ :
  $$\sup_{t} [u(\cdot, t)]_{C^{0,1}(B_{R/2})} \le C M_R R^{-1}$$
• Cas $1 < p < 2$ :
  $$\sup_{t} [u(\cdot, t)]_{C^{0,1}(B_{R/2})} \le C M_R^{1 + \frac{2-p}{sp}} R^{-1}$$
  Où $M_R$ dépend de la norme $L^\infty$ de la solution et de sa queue (tail), et $C$ dépend uniquement des dimensions et des constantes d'ellipticité.

Points clés des résultats :

• Validité pour $1 < p < 2$ : C'est la première preuve de régularité Lipschitzienne pour le cas sous-quadratique parabolique fractionnaire.
• Noyaux discontinus : Les résultats s'appliquent à des noyaux $K$ qui ne sont pas nécessairement continus, tant qu'ils satisfont les bornes d'ellipticité.
• Hypothèse de queue faible : L'auteur n'exige que $u \in L^\infty_{loc}(I; L^{p-1}_{sp}(\mathbb{R}^N))$ (la queue est bornée en temps), évitant ainsi l'hypothèse plus forte de continuité temporelle de la queue requise par des travaux récents similaires.

4. Contributions et Innovations

1. Extension au cas sous-quadratique ($1 < p < 2$) :
   Le cas $p < 2$ est techniquement plus difficile car l'opérateur n'est pas bien défini sur des fonctions lisses sans singularités. L'auteur contourne ce problème en évitant l'utilisation directe de fonctions tests lisses dans la définition de la solution de viscosité, en utilisant plutôt une approche de comparaison directe avec des fonctionnels paramétrés.

2. Traitement des noyaux discontinus :
   En se concentrant sur l'opérateur tronqué (intégrale locale), l'auteur élimine le besoin de régularité du noyau à l'infini ou de continuité globale, alignant ainsi les résultats paraboliques sur ceux du cas elliptique.

3. Évitement des arguments de blow-up :
   La preuve fournit une route alternative pour le cas linéaire et non linéaire, évitant les arguments de blow-up et les théorèmes de Liouville souvent utilisés dans la littérature précédente.

4. Généralisation :
   La méthode est suffisamment robuste pour être étendue à des opérateurs plus complexes, tels que le $(p, q)$-Laplacien fractionnaire parabolique et les opérateurs double-phase non locaux (Section 6).

5. Signification et Impact

Ce travail comble une lacune importante dans la théorie de la régularité des équations aux dérivées partielles non locales.

• Il établit que la condition $sp > p - 1$ est la condition critique (sharp) pour obtenir une régularité Lipschitzienne, confirmant l'optimalité des exposants connus dans le cas elliptique.
• Il unifie le traitement des cas $p \ge 2$ et $1 < p < 2$ dans un cadre parabolique non linéaire.
• En démontrant la régularité pour des noyaux discontinus, il élargit considérablement la classe d'applications possibles, notamment pour des modèles physiques où les coefficients peuvent présenter des sauts.
• La méthode développée (Ishii-Lions paramétré avec profils de pénalisation adaptés) offre un nouvel outil puissant pour l'analyse de régularité des équations non locales non linéaires, susceptible d'être appliquée à d'autres problèmes ouverts dans ce domaine.