Kobayashi length bounds on bordered surfaces and generalized integral points on abelian varieties

1. Contexte et Problématique

L'article s'inscrit dans le cadre de la géométrie diophantienne, plus précisément dans l'étude des points entiers généralisés sur les variétés abéliennes définies sur des corps de fonctions complexes. Le problème central est de quantifier le nombre de tels points en fonction de la complexité de leur intersection avec un diviseur donné.

• Cadre géométrique : Soit $B$ une surface de Riemann compacte et $B_0 \subset B$ une sous-surface hyperbolique bordée (obtenue en retirant un nombre fini de disques fermés disjoints). On considère une variété abélienne $A$ de dimension $n$ sur le corps de fonctions $K = \mathbb{C}(B)$, munie d'un diviseur effectif réduit $D$.
• Points entiers généralisés : Contrairement aux points entiers classiques (où l'intersection avec $D$ est vide en dehors d'un ensemble fini fixe $S$), les points généralisés $(s, B_0)$ autorisent l'intersection avec $D$ à se produire en dehors de $B_0$, à condition que le nombre de points d'intersection soit borné par $s$. L'objectif est de borner le cardinal de l'ensemble de ces points, noté $I(s, B_0)$, modulo la trace constante.
• Conjecture de Lang-Vojta : Ce travail vise à affiner les bornes quantitatives prédites par la conjecture de Lang-Vojta géométrique pour les paires de type log-général.

2. État de l'art et Limites des Résultats Précédents

Avant ce travail, Phung [7] avait établi une borne supérieure pour le nombre de points entiers généralisés sur les variétés abéliennes.

• Résultat de Phung : Le nombre de points (modulo la trace) est borné par une fonction polynomiale en $s$ de la forme $O(s^{2nk})$, où $k = \text{rk}(\pi_1(B_0))$.
• Source de l'imprécision : Cette borne repose sur une estimation de la croissance de la longueur de Kobayashi des boucles sur la surface $B_0$ lorsque l'on retire un ensemble de points $S$ (pôles). Phung avait démontré que cette longueur $L(\alpha, s)$ croît au plus linéairement en $s$ (c'est-à-dire $O(s)$).
• Conséquence : Dans l'argument de comptage de Phung (basé sur le cocycle de Parshin et le dénombrement de réseaux), une croissance linéaire de la longueur entraîne une croissance quadratique de l'exposant dans le nombre de points ($2n \times k$).

3. Méthodologie et Innovations Techniques

L'article de Dolce propose une amélioration fondamentale en deux étapes : une estimation géométrique fine de la métrique de Kobayashi, suivie d'une réapplication de l'argument de comptage arithmétique.

A. Estimation des longueurs de Kobayashi (Théorème 1.5)

L'auteur affine la borne supérieure de la longueur minimale d'une boucle $\alpha$ dans $B_0 \setminus S$ lorsque $|S| \le s$.

• Approche de Phung (Linéaire) : Estimation directe et ponctuelle de la longueur d'une boucle spécifique, conduisant à une majoration $O(s)$.
• Approche de Dolce (Sous-linéaire) :
  1. Coordonnées de Fermi : L'auteur considère une bande tubulaire (strip de Fermi) $T_\delta(\gamma)$ autour d'une représentation lisse $\gamma$ de la classe d'homotopie $\alpha$.
  2. Fonction de distorsion : Il étudie le rapport $\lambda_S = \kappa_S / \sqrt{\rho}$ entre la métrique de Kobayashi de la surface poinçonnée et une métrique de référence $\rho$. Cette fonction présente des singularités de type $1/d$ près des points de $S$.
  3. Décomposition de Voronoï et Intégration : Au lieu d'estimer la longueur ponctuelle, l'auteur utilise une décomposition de Voronoï des pôles et intègre la fonction de distorsion sur toute la bande.
  4. Inégalité de Hölder et Choix de l'exposant : En utilisant l'inégalité de Hölder avec un exposant $p$ variable ($1 < p < 2$), il contrôle la singularité. La clé est le choix optimal de $p = 2 - \frac{1}{\log(s+2)}$.
  5. Résultat : Cette méthode d'« averaging » (moyennisation) permet de prouver que la longueur maximale minimale croît comme :
     $$L(\alpha, s) \le C \sqrt{s \log s}$$
     Cela détermine le taux de croissance asymptotique exact : $\lim_{s \to \infty} \frac{\log L(\alpha, s)}{\log s} = \frac{1}{2}$.

B. Application au comptage des points entiers (Théorème 1.4)

L'auteur réinjecte cette nouvelle borne dans l'argument de Phung, qui repose sur le cocycle de Parshin.

• Adaptation de l'argument :
  • Dans la preuve originale de Phung, les boucles utilisées pour construire le cocycle devaient partager un point de base commun.
  • La nouvelle borne de Dolce s'applique à des boucles qui n'ont pas nécessairement le même point de base. L'auteur montre que, puisque le groupe fondamental de la fibre (un tore complexe) est abélien, les sections conjuguées du groupe fondamental total donnent des cocycles cohomologues.
  • Cela permet de contourner la contrainte de point de base commun tout en conservant la validité du dénombrement.
• Propagation de la borne : La longueur des boucles dans la base étant désormais $O(\sqrt{s \log s})$ au lieu de $O(s)$, la borne de déplacement dans le revêtement universel de la variété abélienne passe de $O(s)$ à $O(\sqrt{s \log s})$.
• Comptage de réseau : Le nombre de points du réseau $\Gamma \cong \mathbb{Z}^{2n}$ dans une boule de rayon $R$ croît comme $R^{2n}$. Avec $R \approx \sqrt{s}$, le nombre de combinaisons possibles pour chaque générateur du groupe fondamental de la base croît comme $(\sqrt{s})^{2n} = s^n$. Pour $k$ générateurs, le total est $s^{nk}$.

4. Résultats Principaux

1. Théorème 1.5 (Bornes de Kobayashi) : Pour toute boucle non triviale $\alpha$ dans $B_0$, la longueur de Kobayashi minimale dans $B_0 \setminus S$ (avec $|S| \le s$) est bornée par $C \sqrt{(s+1)\log(s+2)}$. Cela répond positivement à la question ouverte [7, Question 1.4] sur le comportement asymptotique.
2. Théorème 1.4 (Comptage des points entiers) : Pour une variété abélienne de dimension $n$ sur $\mathbb{C}(B)$, le nombre de points $(s, B_0)$-entiers généralisés modulo la trace constante est borné par :
   $$\# \left( I(s, B_0) / \text{Tr}_{K/\mathbb{C}}(A)(\mathbb{C}) \right) \le m (s+1)^{nk + \varepsilon}$$
   pour tout $\varepsilon > 0$.

5. Signification et Impact

• Réduction de l'exposant : Le résultat principal est la réduction de l'exposant de la borne supérieure de $2nk$ (résultat de Phung) à $nk + \varepsilon$. Cela correspond à une division par deux de l'exposant, alignant le comportement des points généralisés sur celui des points entiers classiques (pour les courbes elliptiques, où la borne est connue pour être de degré $k$).
• Optimalité asymptotique : La détermination précise du taux de croissance de la longueur de Kobayashi ($\sqrt{s}$) suggère que la borne $s^{nk}$ est probablement la plus fine possible, à des facteurs logarithmiques près.
• Avancée méthodologique : L'utilisation de l'intégration sur des bandes de Fermi et de l'optimisation de l'exposant $p$ dans les inégalités de Hölder pour contrôler les singularités de la métrique de Kobayashi constitue une technique nouvelle et puissante en géométrie hyperbolique complexe.
• Conjecture de Lang-Vojta : Bien que la conjecture reste ouverte pour les variétés abéliennes non constantes générales, ce travail fournit la meilleure borne quantitative connue à ce jour pour les points entiers généralisés, renforçant la crédibilité de la conjecture dans ce contexte.

En résumé, Paolo Dolce démontre que la croissance du nombre de points entiers généralisés est beaucoup plus lente que ce que l'on pensait auparavant, en exploitant une estimation géométrique plus fine de la métrique de Kobayashi sur les surfaces poinçonnées.