A further $q$-generalization of the (C.2) and (G.2) supercongruences of Van Hamme

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres, spécifiquement dans l'étude des supercongruences (congruences modulo de hautes puissances d'un nombre premier $p$) et de leurs analogues $q$-analogues.

• Contexte historique : En 1997, Van Hamme a énuméré des analogues $p$-adiques de formules de Ramanujan, dont les supercongruences notées (C.2) et (G.2). Ces dernières impliquent des sommes de séries hypergéométriques tronquées.
• États des lieux : Des travaux antérieurs (Long, Guo, Wang, He, Liu, etc.) ont prouvé ces congruences modulo $p^3$ ou $p^4$ et ont établi des analogues $q$ (remplaçant les entiers par des entiers $q$ et les factorielles par des factorielles $q$-décalées).
• Objectif du papier : L'objectif principal est d'établir une généralisation unifiée des analogues $q$ des supercongruences (C.2) et (G.2). Les auteurs visent à raffiner les résultats existants (notamment ceux de Guo) en obtenant des congruences modulo $[n]\Phi_n(q)^4$ (où $\Phi_n$ est le polynôme cyclotomique), ce qui correspond à une précision supérieure par rapport aux résultats antérieurs modulo $[n]\Phi_n(q)^3$.

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinatoire et algébrique rigoureuse basée sur les outils suivants :

• Algorithme de Zeilberger $q$-analogue : C'est l'outil central pour établir des identités de récurrence pour les sommes hypergéométriques $q$.
• Méthode de Wilf-Zeilberger (WZ) : Les auteurs construisent des paires de fonctions rationnelles $F(m, k)$ et $G(m, k)$ satisfaisant une relation de récurrence de type télescopique :
  $$[dk - d + r]F(m, k-1) - [dk - d + 2r]F(m, k) = G(m+1, k) - G(m, k)$$
• Sommes télescopiques : En sommant cette relation sur les indices appropriés, ils transforment la somme originale en une expression plus simple, isolant les termes de bord.
• Lemmes auxiliaires (Lemmas 2.1 à 2.6 et 4.1 à 4.4) :
  • Ils établissent des congruences pour des produits de factorielles $q$-décalées modulo des puissances de $\Phi_n(q)$.
  • Ils utilisent des propriétés de divisibilité des polynômes cyclotomiques et des entiers $q$-analogues pour montrer que certains termes s'annulent modulo $[n]$ ou $\Phi_n(q)^4$.
  • Une attention particulière est portée à la décomposition en facteurs cyclotomiques pour prouver la coprimalité de certains polynômes avec $1-q^n$.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

L'article présente deux théorèmes principaux qui unifient et généralisent les résultats précédents :

A. Théorème 1.1 (Généralisation du cas $n \equiv r \pmod d$)

Pour des entiers $n, d$ premiers entre eux et un entier $r$ dans un intervalle spécifique ($n+d-nd \le r \le n$), les auteurs établissent une congruence $q$ modulo $[n]\Phi_n(q)^4$ pour la somme :
$$\sum_{k=0}^{M} [2dk + r] \frac{(q^r; q^d)_k^4}{(q^d; q^d)_k^4} q^{(d-2r)k}$$
Le résultat donne une expression explicite impliquant :

• Un terme dominant proportionnel à $[n]$.
• Des corrections d'ordre supérieur impliquant des sommes partielles de nombres harmoniques généralisés (via des termes comme $\sum \frac{q^{kd}}{[kd]^2}$).
• Un terme d'erreur d'ordre $[n]^4$.

Corollaire 1.2 : En posant $d=2, r=1$, ils récupèrent un analogue $q$ raffiné de la supercongruence (C.2) de Van Hamme, valable modulo $[n]\Phi_n(q)^4$. En faisant tendre $q \to 1$ et $n=p$, ils retrouvent la congruence modulo $p^5$ (renforçant le résultat connu modulo $p^4$) et obtiennent un analogue partiel d'un résultat impliquant les nombres de Bernoulli.

B. Théorème 1.4 (Généralisation du cas $n \equiv -r \pmod d$)

Pour le cas où $n \equiv -r \pmod d$, les auteurs établissent une congruence similaire mais pour une somme liée à la supercongruence (G.2).
$$\sum_{k=0}^{M} [2dk + r] \frac{(q^r; q^d)_k^4}{(q^d; q^d)_k^4} q^{(d-2r)k} \equiv \dots \pmod{[n]\Phi_n(q)^4}$$
Ce résultat généralise le travail de Guo et Schlosser (qui travaillaient modulo $[n]\Phi_n(q)^3$).

Corollaire 1.5 et 1.6 :

• En appliquant ce théorème avec $d=4, r=1, n=p$ (où $p \equiv 3 \pmod 4$), ils obtiennent une congruence modulo $p^5$.
• Ils déduisent une nouvelle relation impliquant les nombres de Bernoulli et la fonction Gamma $p$-adique $\Gamma_p$, renforçant la conjecture de Swisher et les résultats de He sur la supercongruence (G.2).

4. Signification et Impact

• Unification : Le papier fournit un cadre unifié pour traiter les supercongruences de type Van Hamme (C.2 et G.2) sous forme $q$, couvrant à la fois les cas $n \equiv r$ et $n \equiv -r \pmod d$.
• Précision accrue : Le passage d'une congruence modulo $[n]\Phi_n(q)^3$ à $[n]\Phi_n(q)^4$ représente une amélioration significative de la précision, permettant de déduire des congruences classiques modulo $p^5$ (contre $p^4$ précédemment).
• Nouveaux liens : Les résultats établissent des connexions plus profondes entre les sommes $q$-hypergéométriques, les nombres harmoniques d'ordre supérieur et les nombres de Bernoulli.
• Méthodologie : L'application systématique de l'algorithme $q$-Zeilberger combinée à des lemmes techniques sur les polynômes cyclotomiques démontre la puissance de cette approche pour résoudre des problèmes de théorie des nombres modernes.

En résumé, cet article apporte une avancée majeure dans la théorie des supercongruences $q$ en généralisant et en affinant les résultats connus, offrant de nouvelles preuves et des formulations plus précises pour les analogues $p$-adiques des formules de Ramanujan.