Retrospective Counterfactual Prediction by Conditioning on the Factual Outcome: A Cross-World Approach

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque au problème de la prédiction rétrospective de contre-factuels. Contrairement aux questions causales classiques qui visent à estimer l'effet moyen du traitement (ATE) ou l'effet moyen conditionnel (CATE) sur de nouvelles populations, ce travail se concentre sur l'individu observé : Que serait-il arrivé à un patient spécifique (avec des covariables $x$ et un résultat observé $y$) s'il avait reçu un traitement différent ?

Formellement, l'objectif est d'estimer :
$$\mu(x, y) = E[Y(1) \mid X = x, Y(0) = y]$$
où $Y(1)$ est le résultat contrefactuel (non observé) et $Y(0)$ est le résultat factuel (observé).

Le défi fondamental : Sans hypothèses supplémentaires, cette quantité n'est pas identifiable. La distribution conjointe des résultats potentiels $(Y(0), Y(1))$ conditionnelle aux covariables $X$ ne peut pas être déduite des données observées car on n'observe jamais les deux résultats pour le même individu. La plupart des méthodes existantes ignorent le résultat factuel $Y(0)$ lors de la prédiction de $Y(1)$, se limitant à estimer $E[Y(1) \mid X=x]$, ce qui perd une information individuelle précieuse.

2. Méthodologie : L'Approche "Cross-World"

L'auteur propose un cadre appelé RCP($\rho$) (Retrospective Counterfactual Prediction) qui exploite la corrélation entre les mondes potentiels.

A. Hypothèse de Corrélation Cross-World

Le cœur de la méthode repose sur l'introduction d'un paramètre de dépendance, la corrélation cross-world $\rho(x)$ :
$$\rho(x) = \text{cor}(Y(1), Y(0) \mid X = x)$$
Bien que $\rho(x)$ ne soit pas identifiable à partir des données seules, l'article argue qu'il peut être spécifié de manière plausible par des experts du domaine ou estimé via des variables auxiliaires. Cette corrélation capture l'influence de facteurs latents partagés qui affectent les deux résultats potentiels (ex: la génétique d'un patient influence son état de santé avec ou sans traitement).

B. Construction de l'Estimateur

En supposant une structure de dépendance spécifique (par exemple, une copule gaussienne paramétrée par $\rho$), l'auteur dérive des estimateurs ponctuels et des intervalles de prédiction :

1. Estimateur Ponctuel ($\hat{\mu}_\rho$) :
   L'estimateur combine la prédiction de base (basée uniquement sur $X$) avec un ajustement basé sur le résidu du résultat factuel :
   $$\hat{\mu}_\rho(x, y) = \hat{\mu}_1(x) + \rho \cdot \lambda(x) \cdot (y - \hat{\mu}_0(x))$$
   Où $\hat{\mu}_t(x)$ sont les estimateurs de la moyenne conditionnelle pour les groupes traités et non traités, et $\lambda(x)$ ajuste le rapport des largeurs des intervalles de prédiction entre les groupes.

   • Si $\rho = 0$ : L'estimateur ignore $y$ et revient à une régression standard ($\hat{\mu}_1(x)$).
   • Si $\rho = 1$ : L'estimateur suppose un effet de traitement constant et ajuste $y$ directement ($y + \hat{\tau}(x)$).

2. Intervalles de Prédiction ($C_\rho$) :
   Les intervalles sont construits pour garantir une couverture conditionnelle asymptotique :
   $$P(Y(1) \in C_\rho(x, y) \mid X=x, Y(0)=y) \ge 1 - \alpha$$
   La largeur de l'intervalle est réduite par un facteur $\sqrt{1-\rho^2}$, reflétant la réduction de la variance conditionnelle grâce à l'information apportée par $Y(0)$.

3. Correction de Biais ($C^{+CI}_\rho$) :
   Pour les échantillons finis et lorsque $\rho$ est élevé, l'incertitude liée à l'estimation des paramètres de nuisance est prise en compte en élargissant l'intervalle avec un intervalle de confiance bootstrap, pondéré par $\rho^2$.

3. Contributions Clés

• Formalisation de la prédiction conditionnelle au résultat factuel : C'est la première étude systématique des estimands $\mu(x, y)$ et des intervalles associés, exploitant explicitement $Y(0)$.
• Introduction de la dépendance cross-world comme outil : L'article transforme l'hypothèse de corrélation $\rho$ d'un obstacle théorique en un paramètre de modélisation explicite, permettant une analyse de sensibilité rigoureuse.
• Théorème de consistance et d'optimalité : Sous l'hypothèse de normalité et d'une spécification correcte de $\rho$, les estimateurs sont consistants et les intervalles de prédiction sont asymptotiquement optimaux (les plus petits possibles pour une couverture donnée).
• Preuve de non-identifiabilité : Le papier démontre formellement que sans spécifier la structure de dépendance cross-world, la prédiction rétrospective est impossible, justifiant ainsi l'approche proposée.

4. Résultats Expérimentaux

Les auteurs ont évalué leur méthode sur des données synthétiques, semi-synthétiques (IHDP) et réelles (Twins), comparant RCP($\rho$) à quatre baselines :

1. Modélisation directe du résultat (DO).
2. Imputation ajustée par CATE (T-learner, etc.).
3. Appariement (Matching).
4. Modélisation générative adversaire (GANITE).

Résultats principaux :

• Réduction de l'erreur (MSE) : Lorsque la corrélation cross-world est positive ($0 < \rho < 1$), RCP($\rho$) surpasse systématiquement les méthodes de base. Plus $\rho$ est élevé, plus la réduction de variance est importante, conduisant à une erreur quadratique moyenne (MSE) plus faible.
• Robustesse à la mauvaise spécification : Même si la valeur de $\rho$ utilisée est approximative (mais proche de la vérité), la méthode surpasse les approches qui ignorent totalement $Y(0)$ (équivalent à $\rho=0$).
• Performance des intervalles : Les intervalles de prédiction RCP offrent une meilleure efficacité (plus étroits pour une même couverture) que les méthodes traditionnelles, en particulier lorsque la dépendance entre les mondes est forte.
• Limites dimensionnelles : La méthode excelle particulièrement en dimensions faibles à modérées où l'information de $Y(0)$ est prépondérante par rapport au bruit d'estimation.

5. Signification et Implications

Cet article marque une avancée significative dans l'inférence causale individuelle :

1. Changement de paradigme : Il déplace l'attention de la simple estimation de l'effet moyen vers la prédiction précise du résultat individuel en intégrant l'historique du patient ($Y(0)$).
2. Transparence des hypothèses : En rendant explicite le paramètre $\rho$, l'article force les praticiens à réfléchir à la structure de dépendance sous-jacente de leurs données, plutôt que de faire des hypothèses implicites (souvent fausses, comme l'indépendance $\rho=0$).
3. Applicabilité pratique : La méthode fournit un cadre pour quantifier l'incertitude dans des scénarios à haut risque (médecine, droit), où il est crucial de savoir non seulement quel traitement est "meilleur en moyenne", mais quel serait le résultat spécifique pour un patient donné s'il avait fait un autre choix.

En conclusion, l'approche RCP($\rho$) démontre que l'intégration du résultat factuel, guidée par une hypothèse de corrélation cross-world plausible, permet d'obtenir des prédictions contrefactuelles nettement plus précises et fiables que les méthodes actuelles.