On the locally analytic completed cohomology of modular curves

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le cadre de la théorie des formes automorphes $p$-adiques et de la correspondance de Langlands locale $p$-adique. Le point de départ est la cohomologie complétée des courbes modulaires, introduite par Matthew Emerton. Cette cohomologie, notée $\tilde{H}^i(K_p)$, est définie comme la limite projective des cohomologies singulières des courbes modulaires de niveaux $K_p K_p$ (où $K_p$ est un sous-groupe compact ouvert de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$) à coefficients dans $\mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}$, puis complétée $p$-adiquement.

Le problème central est de comprendre la structure de l'espace des vecteurs localement analytiques de cette cohomologie, noté $\tilde{H}^i(K_p)^{la}$, en tant que représentation de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$. Emerton a montré que cette structure est intimement liée à la conjecture de Fontaine-Mazur et à la correspondance de Langlands locale $p$-adique. Cependant, la compréhension explicite de l'interaction entre l'action de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$, l'action du groupe de Galois absolu $G_{\mathbb{Q}}$ et la structure de Hodge-Tate reste un défi majeur.

L'objectif de l'auteur est de fournir une nouvelle approche pour décrire ces vecteurs localement analytiques en utilisant la géométrie $p$-adique des courbes modulaires de niveau infini, introduite par Peter Scholze.

2. Méthodologie

La méthode développée par Lue Pan repose sur trois piliers fondamentaux :

1. Théorie de Sen Relative/Géométrique : L'auteur adapte la construction de l'opérateur de Sen pour les représentations galoisiennes $p$-adiques au contexte géométrique. En travaillant sur le site pro-étale d'une variété rigide analytique lisse, il définit un champ de Higgs canonique $\theta_V$ sur un système local $V$. Ce champ satisfait des équations différentielles du premier ordre (équations de Cauchy-Riemann $p$-adiques) qui caractérisent les sections localement analytiques.
2. Localisation sur la variété drapeau : En exploitant le morphisme de période de Hodge-Tate $\pi_{HT} : X_{K_p} \to \mathcal{F}\ell \cong \mathbb{P}^1$ (où $X_{K_p}$ est la courbe modulaire de niveau infini), l'auteur montre que la cohomologie localement analytique peut être « localisée » sur la variété drapeau $\mathbb{P}^1$. Plus précisément, les vecteurs localement analytiques correspondent à la cohomologie d'un faisceau spécifique, noté $\mathcal{O}^{la}$, défini sur $\mathbb{P}^1$.
3. Description géométrique explicite via les modèles intégraux : L'auteur utilise les modèles intégraux formels de Scholze pour décrire explicitement les sections de $\mathcal{O}^{la}$ comme des limites inductives de sections sur des sous-variétés rigides ouvertes $Y_{K_p K_p, n}$, définies par des conditions de proximité par rapport au graphe du morphisme de période.

3. Contributions Clés et Résultats Principaux

A. Localisation et Structure de $\mathcal{O}^{la}$

L'auteur établit un isomorphisme fondamental reliant la cohomologie complétée localement analytique à la cohomologie de $\mathbb{P}^1$ à coefficients dans un faisceau $\mathcal{O}^{la}$ :
$$\tilde{H}^i(K_p)^{la} \widehat{\otimes}_{\mathbb{Q}_p} \mathbb{C} \cong H^i(\mathbb{P}^1, \mathcal{O}^{la})$$
Il démontre que $\mathcal{O}^{la}$ se comporte comme un $\mathcal{D}$-module sur $\mathbb{P}^1$ au sens de Beilinson-Bernstein.

• Opérateur de Sen géométrique : L'action de l'opérateur de Sen sur la cohomologie est identifiée à l'action d'un opérateur différentiel $\theta_h$ (lié au sous-algèbre de Cartan) sur le faisceau $\mathcal{O}^{la}$.
• Théorème 2.12 : L'action de la sous-algèbre nilpotente $\mathfrak{n}_0$ sur $\mathcal{O}^{la}$ est triviale, ce qui permet de réduire l'étude à l'action du quotient de Borel.

B. Structure de Hodge-Tate et Formes Modulaires Surconvergentes

En analysant les composantes de poids $\mu_k$ de la cohomologie, l'auteur obtient une décomposition de Hodge-Tate explicite :

• Poids réguliers ($k \neq 1$) : La cohomologie se décompose en une somme directe impliquant des formes modulaires surconvergentes ($M^\dagger_k$) et des cohomologies à support compact. Cela permet de caractériser les formes propres surconvergentes par leurs poids de Hodge-Tate-Sen.
• Poids irrégulier ($k=1$) : Il n'y a pas de décomposition directe en raison de l'existence de représentations non de Hodge-Tate. L'auteur établit une suite exacte reliant la cohomologie aux formes surconvergentes de poids 1, où l'action de l'opérateur de Sen correspond au morphisme de connexion $\delta$ de la suite exacte longue associée à la stratification de Bruhat de $\mathbb{P}^1$.
• Résultat de classicité (Théorème 3.6) : Si une forme propre surconvergente de poids 1 est associée à une représentation galoisienne de Hodge-Tate, alors elle provient d'une forme modulaire classique (représentation d'Artin). Cela confirme la conjecture de Gouvêa.

C. Structure de de Rham et Opérateur de Fontaine

Dans un travail ultérieur ([Pan26]), l'auteur étudie la structure de de Rham en introduisant l'opérateur de Fontaine $N$.

• Description géométrique de $N$ : L'opérateur $N$, qui mesure l'écart entre une représentation de Hodge-Tate et une représentation de de Rham, est décrit géométriquement comme la composition de deux opérateurs de dérivation ($d_X$ et $d_{\mathbb{P}^1}$) agissant sur les sections de $\mathcal{O}^{la}$.
• Théorème 4.3 : L'opérateur $N$ est proportionnel à $H^1(\bar{d}_1 \circ d_1)$, où $d_1$ et $\bar{d}_1$ sont les dérivations le long des facteurs de la variété produit.
• Application à la conjecture de Fontaine-Mazur : Cette description géométrique permet de prouver que toute représentation galoisienne irréductible de dimension 2, de Hodge-Tate de poids $0, k$, qui est de de Rham, provient d'une forme modulaire cuspidale de poids $k+1$. Contrairement à la preuve d'Emerton, cette méthode n'utilise pas la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour $GL_2(\mathbb{Q}_p)$, mais repose sur la géométrie des courbes modulaires et le transfert de Jacquet-Langlands.

D. Construction de Représentations Localement Analytiques

L'article fournit une construction géométrique uniforme des représentations localement analytiques de $GL_2(\mathbb{Q}_p)$ apparaissant dans la correspondance de Langlands locale.

• Pour une forme propre $f$, la représentation $\Pi_{la}$ associée est décrite comme le conoyau d'une application injective $i_\pi$ provenant d'un système local équivariant sur une strate de $\mathbb{P}^1$ (le demi-plan de Drinfeld $\Omega$ pour le cas supercuspidal, ou $\mathbb{P}^1(\mathbb{Q}_p)$ pour le cas série principale).
• Cela confirme et généralise des conjectures de Breuil-Strauch et Berger-Breuil, offrant une perspective unifiée où les représentations sont construites à partir de systèmes locaux sur des strates de la variété drapeau via le morphisme de période.

4. Signification et Impact

Les travaux de Lue Pan représentent une avancée majeure dans la compréhension de la cohomologie $p$-adique des variétés de Shimura :

1. Nouveau Paradigme Géométrique : L'approche remplace les méthodes analytiques lourdes (basées sur la correspondance de Langlands locale) par une approche purement géométrique utilisant la théorie de Sen relative et les propriétés des morphismes de période de Hodge-Tate.
2. Preuve de la Conjecture de Fontaine-Mazur : La méthode permet de prouver des cas de la conjecture de Fontaine-Mazur pour les courbes modulaires et les courbes de Shimura de corps de quaternions, y compris pour des représentations qui n'apparaissent pas dans la cohomologie classique (comme les représentations cristallines).
3. Lien entre Hodge-Tate et de Rham : La description explicite de l'opérateur de Fontaine comme un opérateur différentiel géométrique établit un pont concret entre la théorie de Hodge-Tate et la théorie de de Rham dans le contexte $p$-adique.
4. Généralisation : Les résultats ont été généralisés par d'autres auteurs (Rodriguez Camargo, Jiang, Boxer-Calegari-Gee-Pilloni) à des variétés de Shimura de dimension supérieure (comme les variétés de Siegel), suggérant que cette méthode de « localisation » est un outil fondamental pour l'étude de la cohomologie $p$-adique en général.

En résumé, cet article transforme l'étude des vecteurs localement analytiques de la cohomologie complétée d'un problème de théorie des représentations en un problème de géométrie $p$-adique sur la variété drapeau, offrant des preuves plus directes et des descriptions explicites des objets mathématiques sous-jacents.