Convergence analysis for a finite-volume scheme for the Euler- and Navier-Stokes-Korteweg system via energy-variational solutions

Titre

Analyse de convergence pour un schéma volumes finis du système Euler-Korteweg et Navier-Stokes-Korteweg via des solutions variationnelles d'énergie.

1. Problématique

L'article s'intéresse à la modélisation mathématique et numérique des écoulements de fluides compressibles capillaires, décrits par les systèmes Euler-Korteweg (EK) et Navier-Stokes-Korteweg (NSK). Ces systèmes étendent les équations classiques d'Euler et de Navier-Stokes en incluant des effets de tension de surface (capillarité) via des termes de troisième ordre (tenseur de Korteweg).

Les défis majeurs identifiés sont :

• Non-linéarité et régularité : Les solutions classiques n'existent souvent que localement en temps, et la formation de chocs ou de singularités nécessite l'introduction de solutions faibles.
• Non-unicité : Des résultats récents montrent que les solutions faibles (entropiques) ne sont pas uniques pour ces systèmes, ce qui remet en cause la capacité prédictive des modèles standards au niveau des solutions faibles.
• Analyse numérique : La convergence des schémas numériques vers une solution physique pertinente est difficile à prouver sans supposer l'existence préalable d'une solution forte (ce qui est rarement le cas pour ces systèmes non linéaires).

L'objectif est de prouver la convergence d'un schéma volumes finis préservant la structure vers une notion de solution généralisée robuste, sans hypothèse d'existence de solution forte.

2. Méthodologie

A. Le Schéma Numérique

Les auteurs utilisent un schéma volumes finis semi-discrétisé (espace) introduit précédemment dans [25], adapté au cas 2D périodique.

• Discrétisation : Maillage cartésien avec des variables constantes par cellule ($\rho_{i,j}, u_{i,j}$).
• Opérateurs : Utilisation d'opérateurs de différence finis ($\nabla^\pm, \nabla^c, \Delta_h$) pour approximer les dérivées.
• Structure préservée : Le schéma conserve exactement la masse et la quantité de mouvement totales. Il satisfait également une inégalité de dissipation d'énergie discrète.
• Viscosité numérique : Un paramètre de dissipation numérique $\lambda$ est introduit (choisi comme une fonction de la vitesse et de la vitesse du son locale) pour assurer la stabilité et la dissipation d'énergie.

B. Concept de Solution : Solutions Variationnelles d'Énergie

Au lieu de viser des solutions faibles classiques ou des solutions de mesure (qui introduisent une complexité supplémentaire via les mesures de Young), les auteurs utilisent le concept récent de solutions variationnelles d'énergie.

• Définition : Une triple $(\rho, m, E)$ où $\rho$ est la densité, $m$ la quantité de mouvement, et $E$ une fonction de temps représentant une borne supérieure de l'énergie totale.
• Formulation : La solution doit satisfaire une inégalité variationnelle combinant la formulation faible des équations de conservation et une inégalité de dissipation d'énergie.
• Avantage : Cette formulation est stable sous la convergence faible dans les espaces d'énergie naturels et permet d'éviter l'introduction explicite de mesures de défaut complexes, les remplaçant par une seule variable scalaire (le défaut d'énergie).

C. Stratégie de Preuve de Convergence

La preuve repose sur l'analyse asymptotique lorsque le pas de maillage $h \to 0$ :

1. Estimations a priori : Démonstration de bornes uniformes (indépendantes de $h$) sur la densité, la vitesse et l'énergie discrète, découlant directement des propriétés de conservation et de dissipation du schéma.
2. Compacité : Utilisation du lemme d'Aubin-Lions et de théorèmes de compacité discrets (type Rellich-Kondrachov) pour extraire des sous-suites convergentes.
   • Convergence forte de la densité $\rho_h$.
   • Convergence faible de la quantité de mouvement et des gradients.
3. Passage à la limite : Passage à la limite dans la formulation discrète (équations de conservation et inégalité d'énergie).
   • Les termes non linéaires (convection, pression, termes de Korteweg) sont traités en exploitant la convexité de l'énergie et la semi-continuité inférieure.
   • L'utilisation du poids de régularité $K$ permet de contrôler les termes résiduels et de montrer que la limite satisfait l'inégalité variationnelle.

3. Contributions Clés

• Extension du concept de solution : Généralisation des solutions variationnelles d'énergie (initialement développées pour les lois de conservation hyperboliques et les fluides viscoélastiques) au système NSK avec termes de capillarité.
• Preuve de convergence sans solution forte : C'est, à la connaissance des auteurs, la première preuve de convergence d'un schéma numérique pour les équations EK et NSK sans supposer l'existence d'une solution forte. Cela contourne le problème de la non-unicité des solutions faibles.
• Schéma structurellement préservant : Démonstration rigoureuse que le schéma volumes finis spécifique (préservant masse, impulsion et dissipant l'énergie) converge vers une solution physique admissible.
• Gestion des termes de Korteweg : Traitement technique des termes de troisième ordre (tenseur de Korteweg) dans le cadre discret et leur passage à la limite vers la formulation faible continue.

4. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 7) établit que :

• Sous des hypothèses raisonnables sur les données initiales (énergie finie, densité positive) et le paramètre de dissipation numérique ($\lim_{h\to 0} h\lambda = 0$), la suite des solutions numériques $(\rho_h, u_h, E_h)$ converge (à extraction près) vers une triple $(\rho, m, E)$.
• La limite $(\rho, m, E)$ est une solution variationnelle d'énergie au sens de la définition 4.
• Cas Navier-Stokes ($\mu, \eta > 0$) : Si la viscosité est présente, la convergence de la vitesse est forte dans $L^2$, et la relation $m = \rho u$ est vérifiée.
• Cas Euler ($\mu = \eta = 0$) : La convergence est faible pour la vitesse, mais la structure de la solution variationnelle garantit la validité physique de la limite.
• La solution limite satisfait l'inégalité de dissipation d'énergie et les équations de conservation au sens des distributions.

5. Signification et Impact

• Validation Théorique des Méthodes Numériques : Ce travail fournit un fondement théorique solide pour l'utilisation de schémas volumes finis dans la simulation de fluides capillaires complexes, garantissant que les résultats numériques ne sont pas des artefacts mais convergent vers une solution mathématiquement définie.
• Robustesse face à la Non-Unicité : En utilisant le cadre des solutions variationnelles d'énergie, l'article offre une voie pour sélectionner des solutions "physiques" (celles qui minimisent ou dissipent l'énergie de manière cohérente) même lorsque l'unicité des solutions faibles échoue.
• Outil pour l'Analyse Future : La méthodologie développée (combinaison de schémas structurellement préservants et de solutions variationnelles) peut être étendue à d'autres systèmes d'équations aux dérivées partielles non linéaires complexes, notamment ceux impliquant des effets de surface ou des transitions de phase.
• Applications Potentielles : Ces résultats sont cruciaux pour la simulation numérique de phénomènes tels que la dynamique des gouttes, les interfaces fluides, la formation de bulles et les écoulements multiphasiques où les effets de tension de surface sont dominants.

En résumé, cet article comble un vide important entre la théorie des équations aux dérivées partielles (existence de solutions généralisées) et l'analyse numérique (convergence de schémas pratiques), offrant un cadre rigoureux pour l'étude des fluides capillaires compressibles.