Hausdorff Dimension of Growth Rate Level Sets in $\theta$-expansions

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans la théorie métrique des fractions continues et l'étude des ensembles exceptionnels en géométrie fractale. Le problème central est de quantifier la « taille » (au sens de la dimension de Hausdorff) des ensembles de nombres dont les coefficients (chiffres) dans une expansion spécifique présentent un comportement de croissance atypique.

• Cadre général : Les auteurs généralisent les résultats connus sur les fractions continues classiques (où $\theta = 1$) au cadre plus large des $\theta$-expansions. Ici, $\theta \in (0, 1)$ est un nombre irrationnel tel que $\theta^2 = 1/m$ pour un entier $m$ non carré parfait. Tout irrationnel $x \in [0, \theta]$ admet un développement unique :
  $$x = \frac{1}{\theta \ell_1(x) + \frac{1}{\theta \ell_2(x) + \dots}} = [\ell_1(x), \ell_2(x), \dots]_\theta$$
  où les chiffres $\ell_n(x)$ satisfont $\ell_n(x) \ge m$.

• Question spécifique : Soient $S_{n,\theta}(x)$ la somme des $n$ premiers chiffres et $L_{n,\theta}(x)$ leur maximum. Les théorèmes limites classiques (Khinchine, Lévy, Philipp) décrivent le comportement « typique » (presque partout) de ces sommes. Cependant, l'article se concentre sur les ensembles de niveau $E_\theta(\alpha)$ définis par le taux de croissance relatif du plus grand chiffre par rapport à la somme des autres, normalisé par des facteurs logarithmiques :
  $$E_\theta(\alpha) = \left\{ x \in [0, \theta] \setminus \mathbb{Q} : \lim_{n \to +\infty} \frac{L_{n,\theta}(x) \log n \log \log n}{S_{n,\theta}(x) - L_{n,\theta}(x)} = \alpha \right\}$$
  L'objectif est de prouver que pour tout $\alpha \ge 0$, cet ensemble possède une dimension de Hausdorff pleine (égale à 1), malgré le fait qu'il soit de mesure nulle par rapport à la mesure de Gauss $\theta$.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une stratégie constructive combinant l'analyse dynamique et la géométrie fractale.

A. Construction d'un sous-ensemble explicite

Pour chaque $\alpha > 0$, les auteurs construisent un sous-ensemble $E_{M,\theta}(\alpha) \subset E_\theta(\alpha)$ en modifiant des nombres à chiffres bornés.

• Séquence creuse (Sparse Sequence) : Une innovation clé est l'utilisation d'une séquence d'indices très espacés : $n_k = \lfloor \exp(k^{3/4}) \rfloor$. Cette croissance super-exponentielle (mais plus lente que $e^k$) est cruciale pour équilibrer les termes de la limite.
• Insertion de chiffres : Sur les positions $n_k$, on insère des chiffres $\ell_{n_k}$ très grands, définis de manière à satisfaire la condition de limite $\alpha$. Les chiffres aux autres positions restent bornés par une constante $M$.
• Contrôle des erreurs : Des conditions techniques (A, B, C) sont imposées sur $n_k$ et $M$ pour garantir que l'insertion de ces grands chiffres ne perturbe pas la convergence de la somme totale et que le rapport converge bien vers $\alpha$.

B. Préservation de la dimension via des applications Hölder

Pour montrer que le sous-ensemble construit a une dimension de Hausdorff pleine, les auteurs établissent une correspondance bijective entre $E_{M,\theta}(\alpha)$ et l'ensemble $X_M$ des nombres à chiffres uniformément bornés (dont la dimension est connue pour tendre vers 1 lorsque $M \to \infty$).

• Application de suppression ($f$) : On définit une application $f$ qui supprime les chiffres insérés aux positions $n_k$.
• Continuité Hölder : La preuve technique majeure réside dans la démonstration que $f$ et son inverse sont des applications Hölder-continues avec un exposant arbitrairement proche de 1 (i.e., $(1-\varepsilon)$-Hölder).
  • Cela nécessite une analyse fine de la croissance des dénominateurs des convergents $Q_n$ dans les $\theta$-expansions.
  • Les auteurs montrent que l'effet multiplicatif des grands chiffres insérés sur les dénominateurs est contrôlé par rapport à la croissance super-exponentielle des indices $n_k$, permettant de borner la distorsion de la distance.
• Conséquence : Puisque les applications bi-Hölder préservent la dimension de Hausdorff, $\dim_H E_{M,\theta}(\alpha) = \dim_H X_M$.

3. Résultats Principaux

• Théorème 1.1 : Pour tout $\theta$ satisfaisant les conditions et pour tout $\alpha \ge 0$, la dimension de Hausdorff de l'ensemble $E_\theta(\alpha)$ est égale à 1.
  $$\dim_H E_\theta(\alpha) = 1$$
• Cas $\alpha = 0$ : Il est démontré que l'ensemble des nombres à chiffres bornés est inclus dans $E_\theta(0)$, et comme cet ensemble a une dimension pleine, le résultat est immédiat.
• Cas $\alpha > 0$ : La construction explicite couplée à l'argument de préservation de dimension via l'application Hölder permet d'étendre le résultat à tout $\alpha$.

4. Contributions Clés

1. Généralisation des travaux de Zhang et Lü (2016) : L'article étend le résultat de dimension pleine des ensembles de croissance de chiffres, connu pour les fractions continues classiques, au cadre beaucoup plus large des $\theta$-expansions.
2. Nouvelle séquence creuse : L'utilisation de $n_k = \lfloor \exp(k^{3/4}) \rfloor$ est une adaptation spécifique nécessaire aux propriétés métriques des $\theta$-expansions, différente des séquences polynomiales utilisées dans des contextes antérieurs.
3. Analyse métrique fine : La preuve fournit des estimations complètes et détaillées sur la distorsion induite par l'insertion de chiffres dans les $\theta$-expansions, validant la robustesse des méthodes de dimensionnement pour ces systèmes dynamiques.
4. Approche constructive : Contrairement à des preuves purement probabilistes, l'article fournit une construction explicite des sous-ensembles, offrant une compréhension géométrique directe de la structure de ces ensembles exceptionnels.

5. Signification et Impact

Ce travail démontre que, bien que les théorèmes limites (comme la loi des grands nombres pour les sommes de chiffres) imposent des contraintes fortes sur le comportement « typique » des nombres (au sens de la mesure), les ensembles de nombres présentant des comportements « pathologiques » ou atypiques restent immenses du point de vue fractal (dimension de Hausdorff).

Cela souligne la richesse et la complexité de la structure des nombres réels dans les systèmes de numération généralisés. L'interplay entre la théorie ergodique (comportement moyen) et la géométrie fractale (taille des ensembles exceptionnels) est confirmé comme un outil puissant pour comprendre la structure fine des expansions numériques. Les techniques développées sont également flexibles et peuvent être adaptées à d'autres problèmes de taux de croissance dans les $\theta$-expansions.