Soft projections for robust data-driven control

1. Problématique et Contexte

Le contrôle prédictif basé sur les données (Data-Driven Predictive Control - DDPC) a gagné en importance grâce à la théorie des systèmes comportementaux, qui permet de décrire un système linéaire invariant dans le temps (LTI) comme un sous-espace de trajectoires, sans nécessiter de modèle paramétrique explicite.

Cependant, deux défis majeurs persistent dans les méthodes existantes, notamment le DeePC (Data-enabled Predictive Control) :

1. Interprétabilité et Robustesse : L'ajout de termes de régularisation (comme la norme 2 sur le vecteur de coefficients $g$) est souvent heuristique. Bien que cela fonctionne empiriquement, la connexion théorique entre la régularisation et l'approximation du comportement réel du système (sous-espace) reste floue, surtout en présence de contraintes.
2. Estimation de l'ordre du système : Les approches qui tentent d'estimer explicitement le sous-espace de comportement (de dimension faible) sont très sensibles au choix de l'ordre du système. Une mauvaise estimation de l'ordre peut entraîner des erreurs de projection arbitrairement grandes (métrique de l'écart égale à 1).
3. Adaptation en ligne : L'intégration efficace de nouvelles données en temps réel (flux de données) est complexe, car les méthodes actuelles reposent souvent sur la ré-estimation coûteuse du sous-espace ou sur des matrices de données statiques.

L'objectif de cet article est de surmonter ces limitations en reformulant le problème de contrôle non pas comme l'apprentissage d'un modèle, mais comme l'apprentissage direct de la projection sur le comportement du système à partir de données bruitées.

2. Méthodologie

Les auteurs proposent une approche fondée sur les projections douces (soft projections).

A. Concept de Projection Douce

Au lieu d'estimer le sous-espace de comportement $B_L$ et de projeter orthogonalement dessus (ce qui est impossible avec des données bruitées car la matrice de données $H$ devient de rang plein), les auteurs introduisent un opérateur de projection "adouci" :
$$\tilde{P}_H = H(H^\top H + \delta I)^{-1}H^\top$$
où $\delta > 0$ est un paramètre de régularisation.

• Fonctionnement : Ce terme agit comme un filtre qui atténue les valeurs singulières petites (bruit) tout en conservant les grandes (signal). Contrairement à une projection orthogonale stricte, la projection douce est biaisée vers zéro, mais elle est robuste au bruit.
• Lien avec DeePC : Il est démontré que la solution du DeePC standard (avec régularisation sur $g$) est équivalente à une projection douce pondérée dans le cas sans contraintes.

B. Formulations de Contrôle Proposées

Les auteurs généralisent le DeePC en utilisant explicitement le projecteur doux $\tilde{P}_H$ pour approximer la contrainte $w \in B_L$ :

1. Formulation (9) : Minimisation d'une fonction de coût avec une pénalité quadratique sur la distance au sous-espace approximé :
   $$\min_{w \in C} \|w - w_{ref}\|_W^2 + \alpha \|(I - \tilde{P}_H)w\|^2$$
   Cette formulation agit comme un filtre d'ordre supérieur, séparant mieux le signal du bruit.
2. Formulation (10) : Une variante utilisant une pénalité linéaire sur la projection, qui se révèle être une généralisation directe du DeePC standard.

C. Mise à jour en Ligne (Online Updates)

Une contribution clé est la dérivation de formules de mise à jour de rang un (rank-one updates) pour le projecteur doux $\tilde{P}_H$ et le paramètre $\delta$.

• Cela permet d'incorporer une nouvelle trajectoire de données $w_d$ sans recalculer l'inversion de la grande matrice de données à chaque pas de temps.
• Le paramètre $\delta$ est également mis à jour dynamiquement en fonction de la trace de la matrice de données, assurant un compromis biais-variance optimal au fur et à mesure que les données s'accumulent.

3. Contributions Clés

1. Bornes d'Erreur Rigoureuses : Les auteurs établissent une borne supérieure sur l'erreur d'approximation $\|\tilde{P}_H - P_B\|$. Cette borne décompose l'erreur en un terme de biais (lié à $\delta$) et un terme de variance (lié au bruit).
   • Point crucial : Cette borne est indépendante de l'ordre réel du système. Cela élimine la sensibilité critique au choix de l'ordre qui affecte les méthodes d'estimation de sous-espaces explicites.
2. Nouvelles Formulations Interprétables : Les formulations (9) et (10) offrent une interprétation géométrique claire du contrôle basé sur les données, même en présence de contraintes, là où le DeePC standard perd cette interprétation.
3. Algorithmes Adaptatifs Efficaces : La dérivation de formules de mise à jour récursives permet une adaptation en temps réel avec une complexité computationnelle réduite ($O((qL)^2)$), rendant le contrôle robuste aux systèmes non linéaires variant dans le temps (via une sur-approximation linéaire).
4. Supériorité de la Formulation (9) : L'analyse spectrale montre que la formulation (9) agit comme un filtre plus robuste que le DeePC standard (formulation 10), car elle sépare plus efficacement les valeurs singulières du signal et du bruit.

4. Résultats Expérimentaux

Une étude de cas sur un système à double masse-ressort-amortisseur a été réalisée pour comparer le DeePC standard (équation 4) et la nouvelle méthode (équation 9).

• Conditions : Tests effectués avec différents rapports signal-sur-bruit (SNR : 10, 5, 3) et 100 réalisations de bruit.
• Performance :
  • La méthode proposée (9) a démontré une supériorité significative par rapport au DeePC standard, en particulier lorsque le bruit augmente (SNR faible).
  • Le coût réel en boucle ouverte et l'erreur de prédiction sont minimisés sur un intervalle de paramètres plus large et plus stable pour la méthode (9).
  • À un SNR de 3, le coût moyen réalisé par la méthode (9) est nettement inférieur à celui du DeePC, confirmant sa robustesse accrue.
• Analyse des paramètres : Contrairement au DeePC où le compromis entre précision de prédiction et coût réalisé est difficile à gérer, la méthode (9) permet de minimiser simultanément l'erreur de prédiction et le coût sur une plage de paramètres cohérente.

5. Signification et Impact

Cet article apporte une avancée théorique et pratique majeure dans le domaine du contrôle basé sur les données :

• Changement de paradigme : Il déplace le focus de l'estimation de modèles (sous-espaces) vers l'apprentissage direct de l'opérateur de contrôle (projection), évitant ainsi les pièges liés à l'identification de l'ordre du système.
• Robustesse Théorique : La preuve que l'erreur d'approximation ne dépend pas de l'ordre du système offre une garantie de performance que les méthodes d'estimation de sous-espaces ne peuvent pas fournir.
• Faisabilité Industrielle : Les formules de mise à jour en ligne rendent ces méthodes applicables à des systèmes réels où les dynamiques évoluent et où les données arrivent en flux continu, comblant ainsi le fossé entre la théorie académique et l'application industrielle.

En résumé, les "projections douces" offrent un cadre mathématiquement solide, interprétable et computationnellement efficace pour le contrôle prédictif robuste face au bruit et aux variations temporelles.