The Hitchin morphism for K-trivial varieties

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans l'étude de la géométrie des espaces de modules de fibrés de Higgs sur des variétés algébriques projectives lisses $X$ de dimension supérieure à 1 (sur un corps algébriquement clos de caractéristique nulle).

• Le morphisme de Hitchin : Il s'agit de l'application $h_X^r : \mathcal{M}_X^r \to \mathcal{A}_X^r$, qui associe à un fibré de Higgs $(E, \theta)$ de rang $r$ son polynôme caractéristique. Ici, $\mathcal{M}_X^r$ est le champ de modules des fibrés de Higgs et $\mathcal{A}_X^r = \bigoplus_{i=1}^r H^0(X, \text{Sym}^i \Omega_X^1)$ est la base de Hitchin.
• Le problème de la surjectivité : Pour les courbes ($\dim X = 1$), ce morphisme est connu pour être surjectif. Cependant, pour $\dim X > 1$, il n'est généralement pas surjectif.
• La base spectrale : Chen et Ngô ont introduit une sous-schéma fermé $\mathcal{B}_X^r \subset \mathcal{A}_X^r$, appelé base spectrale, qui est l'image théorique attendue du morphisme de Hitchin.
• La Conjecture de Chen-Ngô (Conjecture 1.1) : Elle postule que le morphisme de Hitchin est surjectif sur la base spectrale $\mathcal{B}_X^r$ (c'est-à-dire que pour tout point $s \in \mathcal{B}_X^r$, la fibre $(h_X^r)^{-1}(s)$ est non vide).
• L'objectif de l'article : Les auteurs étudient la surjectivité du morphisme de Hitchin restreint à l'espace de modules de Dolbeault $\mathcal{M}_{X, \text{Dol}}^r$ (fibrés de Higgs semi-stables de rang $r$ avec polynôme de Hilbert fixé à celui du fibré trivial). Ils visent à prouver une version renforcée de la conjecture pour une classe spécifique de variétés, notamment les variétés à diviseur canonique numériquement trivial ($K_X \equiv 0$).

2. Méthodologie

La preuve repose sur une modification de la construction classique des revêtements spectraux et sur l'analyse des propriétés géométriques des différentielles symétriques.

1. Revêtements spectraux normalisés :

   • Pour un point spectral $s \in \mathcal{B}_X^r$, on construit classiquement un revêtement spectral $X_s \to X$. Cependant, $X_s$ n'est pas nécessairement normal ou de Cohen-Macaulay, ce qui pose des problèmes de platitude.
   • Les auteurs considèrent la normalisation $\nu : X'_s \to \tilde{X}_s$ (où $\tilde{X}_s$ est la composante irréductible dominante de $X_s$). Ils montrent que le fibré vectoriel $\pi'_* \mathcal{O}_{X'_s}$ sur $X$, muni d'un champ de Higgs induit, forme un faisceau de Higgs réflexif.
   • Un résultat clé (Lemme 3.2 et Proposition 3.5) établit que le morphisme de Hitchin depuis le champ des faisceaux de Higgs réflexifs est surjectif sur $\mathcal{B}_X^r$.

2. Analyse du lieu de ramification et de la pureté :

   • L'étude se concentre sur le discriminant $D(s)$ du polynôme caractéristique. Le lieu de ramification du revêtement spectral est défini par le lieu d'annulation de $D(s)$.
   • En utilisant la pureté du lieu de ramification (purity of branch locus), les auteurs démontrent que si le lieu d'annulation de $D(s)$ a une codimension $\ge 2$ dans $X$, alors le revêtement normalisé $X'_s \to X$ est étale.

3. Condition de stabilité de pente (Slope stability) :

   • Pour garantir que le lieu d'annulation de $D(s)$ a une codimension $\ge 2$, ils introduisent la notion de variétés $r$-petites ($r$-small).
   • Une variété est $r$-petite si $\Omega_X^1$ est semi-stable de pente et si les inégalités de pente $\mu(\text{Sym}^{k(k-1)}\Omega_X^1) < 1$ sont satisfaites pour tout $1 \le k \le r$.
   • Cette condition implique qu'aucune section globale non nulle de $\text{Sym}^{k(k-1)}\Omega_X^1$ ne peut s'annuler le long d'un diviseur (codimension 1).

4. Lien avec les fibrés vectoriels étales :

   • Si le revêtement spectral est étale, le fibré vectoriel sous-jacent $\pi'_* \mathcal{O}_{X'_s}$ est étale-trivialisable (Lemme 4.4).
   • En caractéristique nulle, un tel fibré est polystable et possède des classes de Chern nulles. Il définit donc un point dans l'espace de modules de Dolbeault $\mathcal{M}_{X, \text{Dol}}^r$.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent les théorèmes suivants :

• Théorème 1.3 (Général) : Soit $X$ une variété projective lisse. Si pour tout $1 \le k \le r$, la variété $\text{Sym}^{k(k-1)}\Omega_X^1$ n'admet pas de section globale non nulle dont le lieu d'annulation est de codimension 1, alors le morphisme de Hitchin restreint $h_{X, \text{Dol}}^k : \mathcal{M}_{X, \text{Dol}}^k \to \mathcal{B}_X^k$ est surjectif.
• Théorème 4.11 (Cas $K$-trivial) : Si $X$ est une variété projective lisse avec un diviseur canonique numériquement trivial ($K_X \equiv 0$), alors pour tout $r \in \mathbb{N}$, le morphisme $h_{X, \text{Dol}}^r$ est surjectif sur la base spectrale $\mathcal{B}_X^r$.
  • Justification : Pour de telles variétés, $\Omega_X^1$ est semi-stable de pente 0, ce qui implique qu'elles sont $r$-petites.
• Proposition 4.12 (Structure de la fibre) : Pour les variétés satisfaisant les hypothèses ci-dessus, chaque fibre du morphisme de Hitchin contient un fibré de Higgs dont le fibré vectoriel sous-jacent est étale-trivialisable. Cela signifie que la base spectrale est couverte par l'image d'un nombre fini de fibrés vectoriels étales fixes.

4. Contributions Clés

1. Preuve de la conjecture pour les variétés $K$-triviales : L'article confirme la conjecture de Chen-Ngô pour une classe importante de variétés (surfaces K3, variétés abéliennes, variétés hyperkähleriennes, etc.) en montrant la surjectivité sur l'espace de modules de Dolbeault.
2. Construction de revêtements spectraux normaux : L'approche technique consistant à normaliser le revêtement spectral pour obtenir un fibré réflexif, puis à utiliser la pureté du lieu de ramification pour établir l'étalité, est une avancée méthodologique significative.
3. Lien entre géométrie des différentielles et modules de Higgs : L'article met en lumière le rôle crucial des sections de puissances symétriques du fibré cotangent et de leurs lieux d'annulation dans la structure de la base spectrale.
4. Version renforcée de la conjecture : Au-delà de la simple existence d'un fibré de Higgs dans chaque fibre, les auteurs montrent l'existence d'un fibré de Higgs polystable avec classes de Chern nulles (donc dans l'espace de modules de Dolbeault) pour chaque point de la base spectrale.

5. Signification et Implications

Ce travail résout un problème ouvert majeur en géométrie algébrique pour une classe de variétés riches et fondamentales.

• Validité de la conjecture : Il démontre que la conjecture de Chen-Ngô est vraie pour les variétés à $K_X$ trivial, un cas central en géométrie complexe et en théorie de la classification.
• Compréhension de la base spectrale : En montrant que la base spectrale est l'image d'un nombre fini de fibrés étales, l'article suggère une structure géométrique plus rigide pour ces variétés que pour le cas général.
• Outils pour les dimensions supérieures : La méthode développée (utilisation de la normalisation et de la pureté du lieu de ramification) offre un cadre robuste pour étudier les morphismes de Hitchin en dimension supérieure, au-delà des surfaces.
• Ouverture de nouvelles questions : L'article soulève la question de l'irréductibilité de la base spectrale pour les variétés $K$-triviales (Remarque 4.13), suggérant que la base spectrale pourrait ne pas être irréductible dans certains cas, ce qui contredirait une intuition simple mais enrichirait la compréhension de la topologie de ces espaces.

En résumé, Patel et Weissmann établissent un pont solide entre la théorie des fibrés de Higgs, la géométrie des revêtements étales et la stabilité des fibrés vectoriels, prouvant que pour les variétés $K$-triviales, la géométrie de la base spectrale est entièrement contrôlée par les fibrés de Higgs polystables à classes de Chern nulles.