Rank jumps for Jacobians of Hyperelliptic curves on K3 surfaces

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse au phénomène de sauts de rang Mordell-Weil dans les familles d'abéliennes définies sur un corps de nombres $k$. Plus précisément, les auteurs étudient les familles de jacobiennes associées à un pinceau de courbes de genre 2 sur une surface K3 définie sur $k$.

Soit $\eta : A \to S$ une famille non constante d'variétés abéliennes sur une courbe lisse $S$ (ici $S \cong \mathbb{P}^1$), et soit $r(\eta, l)$ le rang générique du groupe de Mordell-Weil sur une extension finie $l/k$. Le théorème de spécialisation de Silverman (bâti sur les travaux de Néron) garantit que pour presque tout point $s \in S(l)$, le rang de la fibre $r_s$ satisfait $r_s \ge r(\eta, l)$. L'objectif est d'étudier l'ensemble des points de saut de rang :
$$R(\eta, l) = \{ s \in S(l) \mid r_s > r(\eta, l) \}$$
La question centrale est de déterminer sous quelles conditions géométriques cet ensemble est infini ou, plus fort, non mince (non thin) dans le sens de Serre.

Le cadre spécifique de l'article est celui des surfaces K3 qui admettent un système linéaire de courbes hyperelliptiques de genre 2. Ces surfaces se réalisent comme des revêtements doubles $X \to \mathbb{P}^2_k$ ramifiés le long d'une courbe sextique plane $B$.

2. Méthodologie

La stratégie des auteurs repose sur l'utilisation de multisections salientement ramifiées (saliently ramified multisections), un concept introduit par Bogomolov et Tschinkel pour les surfaces elliptiques.

• Construction de multisections : Les auteurs construisent des courbes $M$ sur la surface K3 (ou une surface dérivée par éclatement) qui sont des multisections du pinceau de courbes de genre 2.
• Condition de ramification : Une multisection est dite salientement ramifiée si la composition de la normalisation de la courbe avec la projection vers la base est ramifiée sur un ouvert de la base.
• Lemme clé (Lemme 2.4) : Si une multisection est salientement ramifiée, alors le rang générique de la jacobienne sur le corps de fonctions de la multisection est strictement supérieur au rang générique sur le corps de base.
• Théorème de spécialisation : En combinant ce lemme avec le théorème de spécialisation, ils démontrent que si la multisection possède une infinité de points rationnels sur une extension $l$, alors l'ensemble des fibres où le rang saute est infini.
• Propriété de Hilbert : Pour obtenir que l'ensemble des sauts soit non mince (c'est-à-dire qu'il ne soit pas contenu dans une union finie de sous-variétés propres ou d'images de morphismes de degré $\ge 2$), ils utilisent des arguments de densité et de disjonction linéaire des corps de fonctions, s'inspirant des travaux de Pasten et Salgado.

Contrairement aux approches précédentes (Hindry-Salgado, Colliot-Thélène) qui nécessitent souvent que la variété sous-jacente soit $k$-unirationnelle ou possède la propriété de Hilbert, cette méthode fonctionne même lorsque la surface K3 n'admet qu'une seule fibration de genre 1, voire aucune.

3. Résultats Principaux

Les auteurs établissent deux théorèmes principaux reliant la géométrie de la courbe sextique de branchement $B$ à l'existence de sauts de rang.

Théorème 1.1 (Sauts infinis)

Si la courbe sextique $B$ contient une composante géométriquement irréductible non linéaire définie sur $k$, alors il existe une extension finie $l/k$ de degré au plus 12 telle que l'ensemble des sauts de rang $R(\eta, l)$ est infini.

• Mécanisme : On utilise les tangentes à la composante non linéaire de $B$ pour construire des multisections de genre 1.

Théorème 1.2 (Sauts non minces)

Si la courbe sextique $B$ admet une singularité simple définie sur $k$, alors il existe une extension finie $l/k$ de degré au plus 18 telle que l'ensemble $R(\eta, l)$ est non mince dans $\mathbb{P}^1_l$.

• Mécanisme : La présence d'une singularité permet de définir un pinceau de courbes de genre 1 (fibres de genre 1) sur la surface K3. Les fibres de ce pinceau servent de multisections salientement ramifiées pour le pinceau de genre 2.

Corollaires et Applications

• Corollaire 1.4 : Pour une surface K3 générique dans la famille $L_d$ (polarisée par $U \oplus \langle -2d \rangle$) avec $d > 3$ et $d \equiv 3 \pmod 4$, l'ensemble des sauts de rang est non mince sur le corps de base $k$ lui-même (sans extension nécessaire dans certains cas).
• Corollaire 1.5 : Dans l'espace de modules grossier des surfaces K3 de degré 2, il existe une famille dense de surfaces définies sur $\mathbb{Q}$ possédant une famille dense de courbes dont la jacobienne a un rang Mordell-Weil positif sur $\mathbb{Q}$.

4. Exemples et Validation

La section 4 présente des exemples concrets de surfaces K3 (avec des nombres de Picard $\rho = 2$ ou $\rho = 1$) qui ne satisfont pas nécessairement les hypothèses des théorèmes généraux de la littérature (comme l'unirationalité ou la propriété de Hilbert potentielle).

• Exemple 1 & 2 : Des surfaces K3 polarisées où les auteurs calculent explicitement le rang générique (souvent 0 ou 1) via la formule de Shioda-Tate et exhibent des multisections de genre 1 définies sur $\mathbb{Q}$ ou une extension quadratique, prouvant l'existence de sauts de rang infinis.
• Exemple 3 : Un exemple avec nombre de Picard géométrique égal à 1, démontrant que les résultats s'appliquent même aux surfaces "génériques" au sens de la géométrie algébrique, là où les méthodes antérieures échouaient.

5. Signification et Contribution

Ce travail apporte plusieurs avancées significatives :

1. Généralisation des méthodes : Il étend la technique des multisections salientement ramifiées au contexte des surfaces K3 et des courbes de genre 2, un cadre plus complexe que les surfaces elliptiques classiques.
2. Indépendance de l'unirationalité : Il démontre que les sauts de rang peuvent être garantis sans supposer que la surface K3 est unirationnelle ou possède la propriété de Hilbert, élargissant ainsi considérablement la classe de variétés concernées.
3. Bornes explicites : Contrairement à certains résultats existants qui garantissent l'existence de sauts mais sans contrôle sur le degré de l'extension de corps nécessaire, les auteurs fournissent des bornes explicites pour le degré de l'extension $l/k$ (au plus 12 ou 18).
4. Densité des sauts : L'article ne se contente pas de prouver l'infinité des sauts, mais établit leur densité (propriété non mince) pour une large classe de surfaces, ce qui est crucial pour des applications arithmétiques et géométriques.

En résumé, cet article fournit un cadre robuste et constructif pour générer des familles de courbes hyperelliptiques dont les jacobiennes présentent des sauts de rang Mordell-Weil, en exploitant finement la géométrie des revêtements doubles de $\mathbb{P}^2$.