Fully nonlinear elliptic PDEs in thin domains with oblique-Dirichlet mixed boundary conditions

1. Problématique et Contexte

L'article étudie le comportement asymptotique des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques non linéaires complètes dans des domaines minces (thin domains). Plus précisément, on considère une famille de domaines $\Omega_\varepsilon \subset \mathbb{R}^{N+1}$ qui s'effondrent vers un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ lorsque le paramètre $\varepsilon \to 0^+$.

Le domaine est défini par :
$$\Omega_\varepsilon = \{ (x, y) \in \Omega \times \mathbb{R} : \varepsilon g^-(x) < y < \varepsilon g^+(x) \}$$
où $g^-$ et $g^+$ sont des fonctions continues définies sur $\Omega$ avec $g^- < g^+$.

Le problème aux limites $(D_\varepsilon)$ est donné par :
$$\begin{cases} F(D^2u_\varepsilon, Du_\varepsilon, u_\varepsilon, z) = 0 & \text{dans } \Omega_\varepsilon, \\ \gamma_+ \cdot Du_\varepsilon = \beta_+ & \text{sur la frontière supérieure } \partial_T \Omega_\varepsilon, \\ \gamma_- \cdot Du_\varepsilon = \beta_- & \text{sur la frontière inférieure } \partial_B \Omega_\varepsilon, \\ u_\varepsilon = \beta & \text{sur la frontière latérale } \partial_L \Omega_\varepsilon. \end{cases}$$

L'opérateur $F$ est de type Bellman-Isaacs (inf-sup), représentant une classe large d'opérateurs elliptiques dégénérés ou non linéaires.

La nouveauté majeure de ce travail réside dans l'assouplissement d'une hypothèse classique. Les études précédentes (notamment [2] des mêmes auteurs) exigeaient une monotonie stricte de l'opérateur $F$ par rapport à la variable inconnue $r$ (c'est-à-dire $c_{\lambda\mu} > 0$). Ici, les auteurs ne supposent que la monotonie non décroissante ($c_{\lambda\mu} \ge 0$), ce qui correspond à un cas plus dégénéré et plus difficile à traiter, notamment pour les problèmes de type Neumann ou mixte.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une approche par solutions de viscosité et utilise la méthode de Perron pour l'existence, combinée à des arguments de convergence.

A. Condition d'Éllipticité Globale (Condition Clé)

Pour compenser l'absence de monotonie stricte en $r$, les auteurs introduisent une condition d'ellipticité globale sur le domaine limite $\Omega$. Ils postulent l'existence d'une fonction $s \in C^2(\Omega, \mathbb{R})$ telle que :
$$\inf_{(\lambda, \mu) \in L \times M} \left| (Ds(x), -Ds(x)\gamma_0^\top(x)) A_{\lambda\mu}(x, 0) \right| > 0$$
où $A_{\lambda\mu} = \sigma_{\lambda\mu}^\top \sigma_{\lambda\mu}$. Cette condition garantit que l'opérateur limite possède une structure elliptique suffisante le long de certaines directions, même si l'opérateur original est dégénéré.

B. Construction de Sur-solutions et Sous-solutions Strictes (Lemme 2)

C'est le cœur technique de l'article. Pour prouver l'existence et l'uniformité des solutions $u_\varepsilon$, les auteurs construisent des barrières (sur-solutions $\psi^\varepsilon$ et sous-solutions $\psi_\varepsilon$) qui contrôlent la solution.
La construction se fait en trois étapes :

1. Cas simplifié ($\gamma_0 = 0$) : On construit explicitement des fonctions de la forme exponentielle $\chi(x) = e^{\alpha s(x)}$ multipliées par des termes quadratiques en $y$. Le choix des constantes $\alpha$ et $\Lambda$ permet de dominer les termes d'ordre inférieur et de satisfaire les conditions aux limites obliques.
2. Transformation de coordonnées : Pour traiter le cas général où $\gamma_0 \neq 0$, les auteurs utilisent un changement de variables (diffeomorphisme) $P(z, y) = (z + y\gamma_0(z), y)$. Cette transformation "redresse" les conditions aux limites obliques pour les ramener au cas simplifié où le vecteur normal effectif est vertical.
3. Retour au domaine original : Une fois les barrières construites dans le domaine transformé, on les compose avec l'inverse du changement de variables pour obtenir les barrières dans le domaine original $\Omega_\varepsilon$.

C. Convergence vers le Problème Limite

Une fois l'existence et la borne uniforme établies pour $u_\varepsilon$, on utilise la méthode standard de demi-limites (half-limits) pour définir $u^+$ et $u^-$ comme limites supérieure et inférieure lorsque $\varepsilon \to 0$.
Le problème limite $(D_0)$ est une EDP sur $\Omega$ :
$$\begin{cases} G(D^2u, Du, u, x) = 0 & \text{dans } \Omega, \\ u = \beta(x, 0) & \text{sur } \partial\Omega. \end{cases}$$
L'opérateur $G$ est obtenu par une projection des coefficients de $F$ via la transformation géométrique induite par la limite du domaine mince.

3. Résultats Principaux

Le théorème principal (Théorème 1) établit trois points fondamentaux :

1. Existence et Borne Uniforme : Pour $\varepsilon$ suffisamment petit, le problème $(D_\varepsilon)$ admet une solution de viscosité bornée, et toutes les solutions sont uniformément bornées par une constante $C_0$ indépendante de $\varepsilon$.
2. Existence et Unicité du Problème Limite : Le problème limite $(D_0)$ admet une unique solution de viscosité $u_0 \in C(\Omega)$ qui satisfait la condition de Dirichlet au sens classique (point par point).
3. Convergence Uniforme : La famille de solutions $u_\varepsilon$ converge uniformément vers la solution limite $u_0$ :
   $$\lim_{\varepsilon \to 0^+} \sup_{u \in S_\varepsilon} \sup_{(x,y) \in \Omega_\varepsilon} |u(x, y) - u_0(x)| = 0$$

4. Contributions Techniques et Signification

• Assouplissement des hypothèses : La contribution la plus significative est la suppression de l'hypothèse de monotonie stricte ($c_{\lambda\mu} > 0$). Cela permet d'appliquer la théorie des domaines minces à des opérateurs dégénérés (où $c_{\lambda\mu} \ge 0$), ce qui est crucial pour de nombreuses applications physiques et financières où la dissipation peut être nulle.
• Condition d'Ellipticité Globale : L'introduction de la condition (2) ou (14) reliant la fonction de test $s$ aux matrices de diffusion $A_{\lambda\mu}$ et aux vecteurs obliques $\gamma_0$ est une innovation technique. Elle remplace la monotonie stricte par une condition géométrique sur l'ellipticité de l'opérateur dans le domaine limite.
• Gestion des Conditions Mixtes Obliques : La méthode de transformation de coordonnées pour traiter les conditions aux limites obliques dans des domaines minces est robuste et généralisable. Elle permet de réduire un problème complexe avec des conditions obliques à un problème avec des conditions de type Neumann/Dirichlet simplifiées dans un système de coordonnées déformé.
• Rigueur sur la Régularité : L'article précise les conditions de régularité nécessaires sur les fonctions définissant le domaine et les coefficients (notamment $C^2$ pour $\gamma_0$ et $\beta_0$), assurant la validité des développements asymptotiques.

En résumé, cet article étend considérablement la théorie des EDP non linéaires dans les domaines minces en levant une restriction majeure (la monotonie stricte) grâce à une condition d'ellipticité globale astucieuse, ouvrant la voie à l'analyse de systèmes plus dégénérés et réalistes.