Existence of holomorphic Lie algebroid connections in higher dimensions

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à la question fondamentale de l'existence de connexions holomorphes sur des fibrés vectoriels holomorphes définis sur des variétés projectives complexes lisses et irréductibles de dimension supérieure ou égale à trois.

• Contexte historique : L'existence de connexions holomorphes classiques (sur le fibré tangent $TX$) est une condition très restrictive. Sur une courbe de Riemann compacte, un fibré admet une telle connexion si et seulement si le degré de chaque composante indécomposable est nul (critère d'Atiyah-Weil). En dimension supérieure ($\dim X \ge 3$), Atiyah a établi un critère d'existence basé sur la restriction du fibré à une hypersurface générale.
• Généralisation : Les auteurs généralisent ce cadre aux fibrés de Lie algebroides holomorphes $(V, \phi)$. Une connexion de Lie algebroid est une généralisation naturelle où le fibré tangent est remplacé par un fibré vectoriel $V$ muni d'un morphisme d'ancrage $\phi: V \to TX$ et d'une structure d'algèbre de Lie.
• Objectif : Établir un critère nécessaire et suffisant pour l'existence d'une connexion $(V, \phi)$-holomorphe sur un fibré $E$ en dimension $\ge 3$, en étendant le résultat d'Atiyah au contexte des Lie algebroides.

2. Méthodologie

La démarche des auteurs repose sur l'analyse cohomologique des classes d'obstruction et l'utilisation de la théorie de la restriction aux hypersurfaces.

A. Définitions et Outils Fondamentaux

• Lie Algebroides : Un Lie algebroid $(V, \phi)$ sur $X$ est un fibré vectoriel holomorphe avec un ancrage $\phi: V \to TX$ et un crochet de Lie satisfaisant la règle de Leibniz.
• Connexions et Courbure : Une connexion $(V, \phi)$ sur un fibré $E$ est une application $\nabla: E \to E \otimes V^*$ vérifiant la règle de Leibniz. Sa courbure $K(\nabla)$ est une section de $\text{End}(E) \otimes \bigwedge^2 V^*$. La connexion est dite intégrable (ou plate) si $K(\nabla) = 0$.
• Fibré de Jets et Classe d'Atiyah : L'existence d'une connexion est équivalente à la scission holomorphe d'une suite exacte courte de faisceaux :
  $$0 \to E \otimes V^* \to J^1_V(E) \to E \to 0$$
  L'obstruction à cette scission est la classe d'Atiyah $V$, notée $\text{at}_V(E) \in H^1(X, \text{End}(E) \otimes V^*)$. Une connexion existe si et seulement si $\text{at}_V(E) = 0$.
• Propriété de Fonctorialité : Pour un morphisme $f: Y \to X$, la classe d'Atiyah se comporte bien par rapport à l'pull-back : $f^\sharp(\text{at}_V(E)) = \text{at}_W(f^*E)$.

B. Stratégie de Restriction (Dimension $\ge 3$)

Les auteurs utilisent une technique de restriction à une hypersurface $X_n = X \cap H_n$ (intersection de $X$ avec une hypersurface de degré $n$ très grand dans l'espace projectif ambiant).

1. Construction du Lie algebroid restreint :
   • Soit $\phi: V \to TX$ l'ancrage.
   • On définit un morphisme $\psi: V|_{X_n} \to N_{X_n}$ (faisceau normal) via la composition de $\phi$ restreint et de la projection sur le fibré normal.
   • Le noyau de ce morphisme, noté $V_n = \text{Ker}(\psi)$, muni de l'ancrage restreint $\phi_n$, forme un nouveau Lie algebroid sur $X_n$.
2. Analyse Cohomologique :
   • En utilisant le théorème de dualité de Serre et les théorèmes de Serre pour $n$ suffisamment grand ($n \gg 0$), les auteurs montrent que les groupes de cohomologie $H^1$ et $H^2$ de certains faisceaux tordus par $\mathcal{O}_X(-X_n)$ s'annulent.
   • Cela induit un isomorphisme entre $H^1(X, \mathcal{F})$ et $H^1(X_n, \mathcal{F}|_{X_n})$ pour des faisceaux appropriés $\mathcal{F}$.
   • Plus spécifiquement, l'application de restriction $i^\sharp: H^1(X, \text{End}(E) \otimes V^*) \to H^1(X_n, \text{End}(E|_{X_n}) \otimes V_n^*)$ est injective.

3. Résultats Principaux

Le papier établit deux théorèmes majeurs :

Théorème 3.1 (Cas général avec ancrage surjectif)

Soit $X$ une variété projective lisse irréductible de dimension $\ge 3$. Soit $(V, \phi)$ un Lie algebroid holomorphe sur $X$ tel que l'ancrage $\phi: V \to TX$ soit surjectif.

• Résultat : Un fibré vectoriel holomorphe $E$ admet une connexion $(V, \phi)$ sur $X$ si et seulement si sa restriction $E|_{X_n}$ admet une connexion $(V_n, \phi_n)$ sur une hypersurface $X_n$ de degré $n$ suffisamment grand.
• Mécanisme : La condition $\text{at}_V(E) = 0$ est équivalente à $\text{at}_{V_n}(E|_{X_n}) = 0$ grâce à l'injectivité de l'application de restriction sur les classes de cohomologie.

Théorème 3.2 (Cas des diviseurs réduits)

Soit $Z \subset X$ un diviseur effectif réduit. On considère le Lie algebroid $W = TX \otimes \mathcal{O}_X(-Z)$ (lié aux connexions logarithmiques), avec l'inclusion comme ancrage (non surjectif).

• Résultat : Sous l'hypothèse $\dim X \ge 3$, $E$ admet une connexion $(W, j)$ sur $X$ si et seulement si, pour une hypersurface lisse $X_n$ de degré $n$ grand qui coupe $Z$ proprement, la restriction $E|_{X_n}$ admet une connexion $(W_n, j_n)$ sur $X_n$, où $W_n$ est le Lie algebroid associé au diviseur d'intersection $Z \cap X_n$.

4. Contributions Clés

1. Généralisation du critère d'Atiyah : Les auteurs étendent le critère classique d'existence de connexions holomorphes (valable pour le fibré tangent) à une large classe de Lie algebroides, y compris ceux associés aux structures logarithmiques et aux modules de Simpson.
2. Réduction dimensionnelle : Ils démontrent que le problème d'existence en dimension $d \ge 3$ peut être réduit à un problème en dimension $d-1$ (sur une hypersurface), à condition que l'ancrage soit surjectif (ou dans le cas logarithmique approprié).
3. Unification des concepts : Le cadre unifie divers objets géométriques (fibrés de Higgs, connexions logarithmiques, connexions méromorphes) sous l'égide des connexions de Lie algebroides, montrant que leurs conditions d'existence obéissent à la même logique de restriction.

5. Signification et Perspectives

• Importance Théorique : Ce travail comble un vide important dans la géométrie complexe de dimension supérieure. Il fournit un outil puissant pour vérifier l'existence de structures de connexion complexes sans avoir à construire explicitement la connexion sur la variété entière, mais en se concentrant sur une section transverse.
• Applications Potentielles : Ces résultats sont cruciaux pour l'étude des systèmes intégrables, des représentations du groupe fondamental, et de la géométrie des modules de fibrés vectoriels avec structures supplémentaires.
• Limites et Questions Ouvertes :
  • Les résultats actuels nécessitent que la dimension de $X$ soit au moins 3 (la méthode de restriction via le théorème de Serre échoue en dimension 2 pour les arguments de nullité de $H^2$).
  • Le cas des Lie algebroides arbitraires (sans hypothèse de surjectivité de l'ancrage ni structure de diviseur) reste un problème ouvert, comme le notent les auteurs dans la remarque 3.3.

En résumé, cet article établit un pont rigoureux entre la géométrie des Lie algebroides et la théorie des fibrés vectoriels en haute dimension, en prouvant que l'obstruction à l'existence de connexions est détectable localement sur des hypersurfaces génériques.