C^{1,\alpha} regularity for a class of singular/degenerate fully nonlinear elliptic equations with oblique boundary conditions

1. Problème Étudié

L'article s'intéresse à la régularité globale des solutions de viscosité pour une classe d'équations elliptiques non linéaires totalement non linéaires, singulières et dégénérées, soumises à des conditions aux limites obliques.

L'équation principale considérée est de la forme :
$$\begin{cases} \Phi(x, |Du|)F(D^2u) = f & \text{dans } \Omega, \\ \beta \cdot Du = g & \text{sur } \partial\Omega, \end{cases}$$
où :

• $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine borné de classe $C^1$.
• $F : S^n \to \mathbb{R}$ est un opérateur uniformément elliptique (au sens de Pucci) avec $F(0)=0$.
• $\Phi(x, t)$ est une fonction continue présentant un comportement singulier ou dégénéré par rapport au gradient $|Du|$.
  • Le cas dégénéré correspond à $i(\Phi) \ge 0$ (le coefficient s'annule ou reste borné lorsque le gradient tend vers 0).
  • Le cas singulier correspond à $-1 < i(\Phi) < 0$ (le coefficient explose lorsque le gradient tend vers 0).
• $\beta$ est un champ de vecteurs défini sur le bord, satisfaisant une condition d'obliquité ($\beta \cdot n \ge \delta_0 > 0$).
• $f$ et $g$ sont des données de régularité appropriée.

L'objectif est d'établir la régularité globale $C^{1,\alpha}$ (continuité Hölder du gradient) pour ces solutions, en traitant simultanément les régimes singuliers et dégénérés dans un cadre unifié.

2. Méthodologie

La preuve repose sur une stratégie itérative combinant des arguments de compacité et des techniques de mise à l'échelle (scaling), adaptées aux difficultés spécifiques des conditions aux limites obliques et des singularités.

A. Unification des régimes (Transformation)

Une étape cruciale est la transformation du problème singulier en un problème dégénéré. En utilisant un lemme de transformation (inspiré de [1]), les auteurs montrent que l'équation singulière peut être réécrite sous une forme dégénérée avec un terme source modifié contenant une puissance du gradient :
$$\tilde{\Phi}(x, |Du|)F(D^2u) = f|Du|^\gamma$$
où $\gamma \in [0, 1)$. Cela permet de traiter les deux cas ($i(\Phi) \ge 0$ et $-1 < i(\Phi) < 0$) sous le même formalisme, où le paramètre $\gamma$ capture la singularité initiale.

B. Argument de Compacité et Amélioration de la Platitude (Improvement of Flatness)

La stratégie centrale consiste à approximer la solution $u$ par une suite de fonctions affines $\{l_k\}$ à chaque échelle $r^k$.

1. Approximation initiale : Grâce à un argument de compacité, on montre que si les données ($f, g, \beta$) et la déformation du domaine sont suffisamment petites, la solution est proche d'une fonction $h$ solution d'une équation homogène à coefficients constants sur le bord.
2. Estimation de régularité : On utilise des estimations de Hölder au bord pour les équations uniformément elliptiques (issues de [6]), valables là où le gradient est éloigné d'un point de référence.
3. Itération : En définissant des fonctions redimensionnées $v_k$, on itère ce processus pour obtenir une suite de fonctions affines telle que :
   $$\|u - l_k\|_{L^\infty(\Omega \cap B_{r^k})} \le r^{k(1+\alpha)}$$
   Cela implique directement que $u \in C^{1,\alpha}$.

C. Gestion des Difficultés Techniques

• Conditions Obliques : Contrairement aux conditions de Dirichlet ou de Neumann, les conditions obliques nécessitent une analyse fine du comportement du gradient près du bord. Les auteurs combinent la méthode du « cusp glissant » (sliding cusp) et la méthode du « paraboloïde glissant » (sliding paraboloid) pour obtenir des estimations uniformes.
• Uniformité par rapport au vecteur $q$ : Lors de l'itération, les fonctions redimensionnées satisfont une équation dépendant d'un vecteur $q$ (lié à la dérivée de l'approximation affine précédente). Le défi majeur est d'obtenir des estimations uniformes en $q$, surtout lorsque $|q|$ devient grand.
  • Dans le cas singulier, le terme source peut croître indéfiniment avec $|q|$.
  • Les auteurs restreignent l'analyse au régime où $|q|^\gamma \|f\|_\infty$ reste borné, évitant ainsi l'usage de la méthode complexe d'Ishii-Lions et permettant d'utiliser les estimations de compacité standard.

3. Résultats Clés

Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui établit la régularité $C^{1,\alpha}$ globale pour la solution de viscosité $u$.

Estimation obtenue :
$$\|u\|_{C^{1,\alpha}(\Omega \cap B_{1/2})} \le C \left( \|u\|_{L^\infty(\Omega \cap B_1)} + \|f\|_{L^\infty}^{1/(1+i(\Phi))} + \|g\|_{C^\alpha} \right)$$

Exposant de régularité $\alpha$ :
L'exposant $\alpha$ est déterminé par l'intersection de plusieurs contraintes :

• $\alpha < \alpha_0$ : L'exposant optimal pour l'équation homogène avec conditions obliques constantes.
• Contrainte liée à la dégénérescence/singularité :
  • Si $i(\Phi) \ge 0$ (dégénéré) : $\alpha \le \frac{1}{1 + s(\Phi)}$.
  • Si $-1 < i(\Phi) < 0$ (singulier) : $\alpha \le \frac{1}{1 + s(\Phi) - i(\Phi)}$.
• $\alpha \le \bar{\alpha}$ : La régularité des données de bord.

Le Corollaire 1.1 étend ce résultat au cas de conditions aux limites de Robin non homogènes ($\beta \cdot Du + hu = g$).

4. Contributions et Signification

• Unification des régimes : C'est la première fois que la régularité $C^{1,\alpha}$ est établie de manière unifiée pour les équations singulières et dégénérées avec des conditions aux limites obliques. Auparavant, les résultats étaient séparés ou limités à des conditions de Neumann homogènes.
• Extension des résultats antérieurs :
  • Pour le cas dégénéré, cela généralise les travaux de [6] (qui traitaient uniquement du cas puissance $\Phi(x,t)=t^\gamma, \gamma > 0$) à une classe beaucoup plus large de non-linéarités $\Phi$.
  • Pour le cas singulier, cela améliore les résultats de [12] (qui n'obtenaient que la régularité Lipschitz pour des conditions de Neumann homogènes) en obtenant la régularité $C^{1,\alpha}$ pour des conditions obliques non homogènes.
• Robustesse de la méthode : La démonstration montre que la méthode de compacité et d'amélioration de la platitude, combinée à une transformation astucieuse pour gérer la singularité, est applicable même lorsque le terme source dépend fortement du gradient et que les conditions aux limites sont obliques.
• Domaine $C^1$ : Les résultats sont valables sur des domaines de classe $C^1$, ce qui est moins restrictif que les domaines $C^2$ souvent requis dans la littérature précédente pour les problèmes obliques.

En résumé, cet article comble un vide important dans la théorie de la régularité des équations elliptiques non linéaires, fournissant un cadre robuste pour analyser des phénomènes physiques modélisés par des équations à coefficients singuliers ou dégénérés avec des conditions aux limites complexes.