Inverse problems for the spectral fractional Laplacian with inhomogeneous Dirichlet boundary data

1. Contexte et Problématique

L'article s'inscrit dans le domaine des problèmes inverses pour les équations aux dérivées partielles (EDP), un champ initié par le travail fondamental de Calderón (1980) sur la conductivité électrique. L'objectif est de déterminer des coefficients internes d'un opérateur différentiel à partir de mesures effectuées sur la frontière du domaine.

Contrairement aux problèmes classiques (opérateur de Laplace ou de Schrödinger), cet article se concentre sur l'opérateur fractionnaire spectral (Spectral Fractional Laplacian), noté $(-\Delta_D)^s$, avec des données de Dirichlet inhomogènes.

Le problème direct étudié est l'équation de Schrödinger fractionnaire :
$$\begin{cases} ((-\Delta_D)^s - q) u = 0 & \text{dans } \Omega, \\ u|_{\partial\Omega} = g, \end{cases}$$
où $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ est un domaine borné, $s \in (1/2, 1)$, et $q \in L^\infty(\Omega)$ est un potentiel inconnu.

L'objectif principal est d'étudier l'injectivité et la stabilité du mappe Dirichlet-to-Neumann (DN) associé, noté $\Lambda_q^s$, qui relie la donnée frontière $g$ à une mesure de flux (définie via une trace de Neumann généralisée).

2. Méthodologie

Les auteurs utilisent une approche combinant l'analyse fonctionnelle, la théorie des opérateurs spectraux et la méthode des solutions optiques géométriques complexes (CGO - Complex Geometric Optics).

A. Définition de l'Opérateur et du DN Map

• Opérateur Spectral : L'opérateur $(-\Delta_D)^s$ est défini via le spectre du Laplacien de Dirichlet classique $-\Delta_D$. Pour une fonction $v$, il agit comme une série sur les fonctions propres $\phi_k$ et les valeurs propres $\lambda_k$ :
  $$(-\Delta_D)^s v = \sum_{k=1}^\infty \lambda_k^s \left( \langle v, \phi_k \rangle_\Omega + \lambda_k^{-1} \langle v, \partial_\nu \phi_k \rangle_{\partial\Omega} \right) \phi_k.$$
  Cette définition permet de traiter des données de Dirichlet inhomogènes, contrairement à l'opérateur fractionnaire standard défini sur $H^s_0(\Omega)$.
• Linéarisation (Approximation de Born) : Pour un potentiel $q$ petit, les auteurs considèrent la dérivée de Fréchet de l'application $q \mapsto \Lambda_q^s$ en $q=0$, notée $d\Lambda^s[q]$. Cela correspond à l'approximation de Born, où la solution est approchée par la solution du problème linéarisé.

B. Identité d'Alessandrini et Solutions CGO

La preuve repose sur une identité d'Alessandrini (Lemme 3.1), qui relie la différence des DN maps à l'intégrale du produit des potentiels et des solutions de l'équation homogène :
$$\langle h, (d\Lambda^s[q])g \rangle_{\partial\Omega} = - \int_\Omega q \, u_h u_g \, dx.$$
Pour exploiter cette identité, les auteurs construisent des solutions spéciales (CGO) pour l'équation $(-\Delta_D)^s v = 0$ (qui, dans le cas linéarisé, se ramène à des solutions harmoniques ou biharmoniques selon le contexte). Ces solutions sont de la forme :
$$u(x, h) = e^{\frac{\phi(x) + i\psi(x)}{h}} (a_0(x) + h a_1(x) + \dots + r(x; h)),$$
où $h$ est un petit paramètre, et $a_j$ sont des amplitudes déterminées par des équations de transport.

3. Résultats Principaux

L'article établit deux théorèmes majeurs :

Théorème 1.1 : Unicité et Stabilité pour le Potentiel $q$

Ce théorème traite de la récupération du potentiel $q$ à partir de la dérivée du DN map ($d\Lambda^s$).

• Hypothèses : $n \ge 2$, $\Omega$ de classe $C^{1,\alpha}$, $1/2 < s < 1$.
• Résultat d'Unicité : Si $d\Lambda^s[q^{(1)}] = d\Lambda^s[q^{(2)}]$ pour toutes les données frontières lisses, alors $q^{(1)} \equiv q^{(2)}$.
• Résultat de Stabilité : Il existe une constante $C$ et un module de continuité $w(t) \sim |\log t|^{-1}$ (stabilité logarithmique) tels que :
  $$\|q^{(1)} - q^{(2)}\|_{H^{-1}} \le C w(\|d\Lambda^s[q^{(1)}] - d\Lambda^s[q^{(2)}]\|_*)$$
  Cela confirme que le problème est bien posé au sens de la stabilité logarithmique, typique des problèmes inverses de type Calderón.

Théorème 1.4 : Récupération des Coefficients Tensoriels (Gauge Invariance)

Ce théorème aborde un problème plus général de récupération de coefficients dans une équation différentielle du second ordre (ou d'ordre supérieur) liée à la structure de l'opérateur.

• Contexte : On considère des coefficients $\theta_2$ (matrice), $\theta_1$ (vecteur) et $\theta_0$ (scalaire) satisfaisant une condition d'intégration par parties (équation 1.9) pour toutes les fonctions $u$ biharmoniques ($\Delta^2 u = 0$) et $v$ harmoniques ($\Delta v = 0$).
• Résultat :
  • Pour $n \ge 3$ : Les coefficients sont déterminés à une jauge naturelle près. Il existe une fonction $w \in C^\infty(\Omega)$ (avec $w = \partial_\nu w = 0$ sur $\partial\Omega$) telle que :
    $$\theta_2 = w I_n, \quad \theta_1 = 2\nabla w, \quad \theta_0 = \Delta w.$$
    Cela signifie que l'on ne peut pas distinguer ces coefficients de ceux générés par une transformation de jauge spécifique.
  • Pour $n = 2$ : Sous les hypothèses supplémentaires $\theta_0 = 0$ et $\text{tr}(\theta_2) = 0$, on obtient l'unicité stricte : $\theta_1 = 0$ et $\theta_2 = 0$.

4. Contributions Clés

1. Cadre Inhomogène : L'article formalise rigoureusement le problème inverse pour l'opérateur fractionnaire spectral avec des données de Dirichlet non nulles, comblant un vide par rapport aux travaux antérieurs souvent limités aux données homogènes ou à l'opérateur fractionnaire intégral (Fourier).
2. Nouveau Résultat de Densité : Les auteurs établissent un résultat de densité supplémentaire pour l'opérateur fractionnaire spectral, crucial pour la construction des solutions CGO.
3. Extension aux Dimensions 2 et 3+ : La preuve de l'unicité des coefficients tensoriels (Théorème 1.4) est traitée séparément pour les dimensions $n \ge 3$ (utilisant des solutions CGO standard) et $n=2$ (utilisant une méthode de phase stationnaire et des coordonnées complexes), montrant la subtilité de la dimension 2 où la jauge ne peut être entièrement levée sans hypothèses supplémentaires.
4. Analyse de Stabilité Logarithmique : La preuve de la stabilité logarithmique pour le potentiel $q$ dans le cadre fractionnaire spectral renforce la compréhension de la difficulté intrinsèque de ces problèmes inverses.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif car il étend la théorie des problèmes inverses non locaux (fractionnaires) au cas spectral avec des conditions aux limites réalistes (inhomogènes).

• Applications : Les résultats sont pertinents pour l'imagerie médicale et la sismique où les modèles fractionnaires sont utilisés pour décrire des milieux hétérogènes ou des phénomènes de diffusion anormale.
• Théorique : Il clarifie la structure de l'opérateur spectral fractionnaire et ses propriétés de prolongement unique (UCP), en montrant comment les techniques classiques (CGO, identités d'Alessandrini) peuvent être adaptées à ce cadre spectral non local.
• Limites et Perspectives : L'incapacité à lever complètement la jauge en dimension 2 pour le cas général (Théorème 1.4) ouvre des pistes de recherche pour des conditions supplémentaires ou des modifications de l'opérateur.

En résumé, cet article fournit une fondation mathématique solide pour les problèmes inverses linéarisés associés à l'opérateur de Schrödinger fractionnaire spectral, en combinant des outils d'analyse fonctionnelle avancée et de géométrie complexe.