Lifting banal representations of classical groups

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le cadre du programme de Langlands local pour les groupes réductifs sur un corps local non archimédien $F$ (de caractéristique différente de 2). Le problème central concerne la théorie des représentations lisses irréductibles de groupes classiques (symplectiques, orthogonaux split, unitaires) à coefficients dans un corps de caractéristique non nulle, spécifiquement le corps fini $\mathbb{F}_\ell$.

• État de l'art : Pour le groupe linéaire général $GL_n$, la théorie des représentations à coefficients dans $\mathbb{F}_\ell$ est bien comprise (travaux de Vignéras, Mínguez, Sécherre) et présente des similitudes fortes avec la théorie complexe ($\mathbb{C}$) lorsque $\ell$ est "banal" (ne divisant pas l'ordre du groupe résiduel). Pour les groupes classiques, la situation est beaucoup plus obscure. La théorie d'Arthur décrit bien les représentations tempérées à coefficients complexes, mais le comportement en caractéristique $\ell$ reste largement inconnu.
• Question principale : Peut-on établir un lien de levée (lifting) entre les représentations irréductibles sur $\mathbb{F}_\ell$ et celles sur $\mathbb{Q}_\ell$ dans le cas des groupes classiques, sous l'hypothèse que $\ell$ est un nombre premier banal ? Plus précisément, toute représentation irréductible $\pi$ sur $\mathbb{F}_\ell$ admet-elle un relèvement $\tilde{\pi}$ sur $\mathbb{Q}_\ell$ tel que la réduction modulo $\ell$ de $\tilde{\pi}$ (via une structure entière) soit isomorphe à $\pi$ ?

2. Définitions Clés

• Nombre premier banal : Un nombre premier $\ell$ est dit banal par rapport à un groupe $G$ s'il ne divise pas le cardinal du groupe des points rationnels sur le corps résiduel $k$, c'est-à-dire $\ell \nmid |G(k)|$.
• Représentation banale : Une représentation irréductible sur $\mathbb{F}_\ell$ est dite banale si son support cuspidal admet un relèvement "banal" vers $\mathbb{Q}_\ell$ (respectant certaines conditions de non-isomorphisme et de dualité).
• Levée (Lift) : Une représentation $\tilde{\pi} \in \text{Irr}_{\mathbb{Q}_\ell}(G)$ est une levée de $\pi \in \text{Irr}_{\mathbb{F}_\ell}(G)$ s'il existe une structure entière $\mathcal{O}$ sur $\tilde{\pi}$ telle que $\mathcal{O} \otimes_{\mathbb{Z}_\ell} \mathbb{F}_\ell \cong \pi$.

3. Méthodologie

L'auteur construit une preuve récursive et explicite en s'appuyant sur quatre piliers méthodologiques, en adaptant des techniques de la théorie des représentations complexes et de la théorie des groupes linéaires :

1. Opérateurs d'entrelacement (Intertwining Operators) :
   L'article utilise la théorie des opérateurs d'entrelacement normalisés $J_{P,P'}(\pi)$ développée par Goldberg et Shah (réf [7]) sur un corps algébriquement clos. L'objectif est de montrer que ces opérateurs préservent les structures entières sous certaines conditions de régularité.

   • Lemme clé (Lemme 3.7) : Si $\ell$ est banal et si les opérateurs d'entrelacement sont réguliers (pas de pôles/ziéros indésirables), alors l'image de l'opérateur sur une structure entière est contenue dans la structure entière, et sa réduction modulo $\ell$ correspond à l'image de l'opérateur réduit.

2. Dérivées (Derivatives) :
   Inspiré par les travaux de Gelfand-Kazhdan et Zelevinsky pour $GL_n$, l'auteur utilise la théorie des dérivées pour les groupes classiques (réf [3]). Pour une représentation cuspidale $\rho$, on définit une opération de "réduction" $D_\rho(\pi)$ qui extrait la partie de $\pi$ non liée à $\rho$. Cela permet de décomposer les représentations irréductibles de manière inductive.

3. Représentations de type Arthur :
   Pour les groupes classiques, l'auteur s'appuie sur la classification d'Arthur des représentations tempérées. Un résultat crucial (Lemme 3) réduit l'étude des représentations tempérées à celles induites à partir de représentations cuspidales auto-duales (ou de type spécifique) sur des sous-groupes de Levi.

4. Pro-générateurs (Progenerators) :
   En utilisant les travaux de Vignéras et de Mínguez-Sécherre, l'auteur exploite la structure des blocs de la catégorie des représentations. Lorsque $\ell$ est banal, les représentations cuspidales sont projectives dans leurs blocs respectifs. Cela permet d'utiliser des générateurs pro-projectifs (progenerators) pour décrire les endomorphismes des représentations induites, garantissant que les propriétés de semi-simplicité et de relèvement se transmettent.

4. Résultats Principaux

Le théorème central de l'article est le suivant :

Théorème 1 (Corollaire 6.1 et 6.3) :
Soit $G$ un groupe symplectique ou orthogonal split sur un corps local non archimédien $F$. Soit $\ell$ un nombre premier banal par rapport à $G$.

• Toute représentation lisse irréductible $\pi$ de $G(F)$ à coefficients dans $\mathbb{F}_\ell$ admet une levée à coefficients dans $\mathbb{Q}_\ell$.
• De plus, si $\tilde{\pi}$ est une représentation irréductible sur $\mathbb{Q}_\ell$ avec un support cuspidal banal, alors sa réduction modulo $\ell$ est irréductible.

Autres résultats notables :

• Cas non-split : L'article étend ces résultats aux groupes non déployés en définissant une notion de "représentation banale" basée sur le support cuspidal (Corollaire 6.4).
• Séries discrètes : Si une représentation sur $\mathbb{F}_\ell$ admet une levée qui est une série discrète (essentielle) sur $\mathbb{Q}_\ell$, alors toute levée est une série discrète (Proposition 6.1).
• Généralisation : Les méthodes s'appliquent également aux groupes linéaires (offrant une nouvelle preuve du résultat connu) et aux groupes unitaires.

5. Application : Dualité de Howe Modulaire

L'article applique ces résultats de levée pour prouver la dualité de Howe dans le contexte modulaire pour les paires duales symplectique-orthogonale ou unitaires (Type I).

• Contexte : La correspondance theta modulaire a été étudiée par Lapid et Mínguez [29], mais une hypothèse technique (Hypothèse H) restait à prouver : l'irréductibilité d'une certaine série principale modulo $\ell$.
• Résultat : En utilisant le théorème de levée, l'auteur montre que la réduction modulo $\ell$ d'une représentation theta spécifique est irréductible lorsque $\ell$ est "fortement banal" (une condition plus forte sur la taille de $\ell$ par rapport à la dimension).
• Conclusion : Cela permet de démontrer la conjecture de dualité de Howe dans le cas fortement banal pour les paires duales de type I, comblant ainsi une lacune importante dans la théorie.

6. Signification et Impact

• Unification : Ce travail établit un pont robuste entre la théorie des représentations en caractéristique 0 et en caractéristique $\ell$ pour les groupes classiques, confirmant que le comportement "bon" observé pour $GL_n$ s'étend aux groupes classiques sous l'hypothèse de banalité.
• Outils nouveaux : L'approche combinant les opérateurs d'entrelacement, les dérivées et les pro-générateurs fournit un cadre technique puissant pour manipuler les structures entières dans des contextes non commutatifs complexes.
• Avancée pour le Programme de Langlands : En garantissant l'existence de levées et la préservation de l'irréductibilité, l'article ouvre la voie à la définition de paramètres de Langlands à coefficients dans $\mathbb{F}_\ell$ pour les groupes classiques, un élément essentiel pour la formulation du programme de Langlands modulaire.
• Résolution de conjectures : La preuve de la dualité de Howe modulaire dans le cas banal constitue une avancée majeure pour la compréhension de la correspondance theta en caractéristique positive.

En résumé, cet article résout un problème fondamental de la théorie des représentations modulaires des groupes classiques en démontrant que, sous l'hypothèse de banalité, la structure des représentations irréductibles sur $\mathbb{F}_\ell$ est entièrement contrôlée par leur contrepartie sur $\mathbb{Q}_\ell$.