Fredholm alternative for a general class of nonlocal operators

1. Problématique et Contexte

L'article s'attaque à la généralisation du théorème de l'alternative de Fredholm aux opérateurs elliptiques non locaux d'ordre fractionnaire mixte.

• Contexte classique : Dans le cadre des équations aux dérivées partielles (EDP) elliptiques locales d'ordre 2, Neil Trudinger a établi une alternative de Fredholm robuste pour des opérateurs avec des coefficients mesurables, peu réguliers et potentiellement non bornés ([Tru73]). Ce théorème énonce que pour un opérateur linéaire $L$, soit l'équation $Lu = f$ admet une solution unique pour tout $f$, soit l'équation homogène $Lu=0$ admet des solutions non triviales (valeurs propres), auquel cas l'équation non homogène n'est résoluble que si $f$ satisfait des conditions d'orthogonalité par rapport au noyau de l'opérateur adjoint.
• Le défi non local : Les opérateurs non locaux, en particulier ceux basés sur le gradient fractionnaire, modélisent des phénomènes de diffusion anormale (mouvements de Lévy) où les individus d'une population adoptent des stratégies de dispersion variées. Ces phénomènes nécessitent souvent la superposition d'opérateurs d'ordres fractionnaires différents ($s \in (0, 1]$), voire une somme infinie ou une intégrale par rapport à une mesure $\mu$.
• Objectif : Développer un cadre fonctionnel et analytique permettant d'établir l'alternative de Fredholm pour un opérateur général $L$ qui :
  1. Intègre une superposition d'opérateurs de gradients fractionnaires d'ordres variables.
  2. Tolère des coefficients mesurables, non bornés, discontinus et dépendant de l'ordre fractionnaire $s$.
  3. Ne repose pas sur l'invariance d'échelle, ce qui rend les méthodes classiques inapplicables.

2. Méthodologie et Cadre Mathématique

Les auteurs construisent une théorie rigoureuse en plusieurs étapes :

A. Définition de l'Opérateur $L$

L'opérateur étudié est défini formellement par :
$$Lu := \int_{(0,1]} \left( -D^s_i (a_{ij}(s, x) D^s_j u + a_i(s, x) u) + b_i(s, x) D^s_i u \right) d\mu(s) + a(x)u$$
où :

• $D^s$ est le gradient fractionnaire d'ordre $s$.
• $\mu$ est une mesure non négative sur $[0, 1]$ (support borné away from 0), pouvant être continue, discrète (somme de Dirac) ou mixte.
• Les coefficients $a_{ij}, a_i, b_i$ sont des fonctions mesurables de $(s, x)$, potentiellement non bornées et discontinues.
• La matrice $A(s, x) = [a_{ij}]$ est définie positive, avec des bornes d'ellipticité $\lambda(x)$ et $\Lambda(x)$ qui peuvent varier dans l'espace.

B. Cadre Fonctionnel : L'espace $H_0(A, g, \Omega)$

Pour traiter la faible régularité des coefficients et la nature non locale, les auteurs introduisent un espace de Hilbert spécifique, noté $H_0(A, g, \Omega)$, défini comme l'achèvement de l'espace des fonctions tests $D(\Omega)$ muni du produit scalaire :
$$\langle u, v \rangle_{H_0(A,g,\Omega)} = \int_{\mathbb{R}^n} \int_{(0,1]} a_{ij}^S(s, x) D^s_i u(x) D^s_j v(x) \, d\mu(s) dx + \int_{\Omega} g(x)u(x)v(x) \, dx$$
où $a_{ij}^S$ est la partie symétrique de $A$.

C. Analyse des Espaces Fonctionnels et Inégalités Clés

Une partie substantielle du papier est consacrée à l'analyse fine des espaces $H^{s,p}_0(\Omega)$ (espaces de Bessel fractionnaires) et à l'établissement d'inégalités essentielles :

• Inégalités de Poincaré fractionnaires : Extension des inégalités classiques au cas $p=1$ et contrôle de la dépendance en $s$.
• Embeddings (Plongements) : Démonstration que $H_0(A, g, \Omega)$ s'injecte continûment et compactement dans des espaces $L^q$ sous certaines conditions sur les exposants et la mesure $\mu$.
• Relation Gradient/Riesz : Utilisation de la relation entre le gradient fractionnaire et le potentiel de Riesz pour établir des propriétés de régularité et de convergence.

D. Notion de "Compact Boundedness" (Bornitude Compacte)

C'est un concept central pour appliquer la théorie de Fredholm. Une fonction non négative $f$ est dite compactly bornée sur $H_0(A, g, \Omega)$ si, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe $K_\varepsilon \ge 0$ tel que pour toute fonction test $\phi$ :
$$\|\phi\|_{L^2(f, \Omega)}^2 \le \varepsilon \|\phi\|_{H_0(A,g,\Omega)}^2 + K_\varepsilon \|\phi\|_{L^1(\Omega)}^2$$
Cette propriété est cruciale car elle garantit que l'embedding de $H_0(A, g, \Omega)$ dans $L^2(f, \Omega)$ est compact, une condition nécessaire pour utiliser la théorie de Riesz-Schauder.

3. Résultats Principaux

Le résultat central est l'établissement de l'alternative de Fredholm pour l'opérateur $L$ dans un cadre faible.

Théorème 1.5 (Alternative de Fredholm) :
Sous l'hypothèse que la fonction $f$ (définie à partir des coefficients $a_i, b_i, a$ et de la matrice inverse de $A$) est compactly bornée sur $H_0(A, \Omega)$ :

1. Il existe un ensemble dénombrable et isolé $\Sigma \subset \mathbb{R}$ de valeurs propres pour l'opérateur $L$.
2. Si $\sigma \notin \Sigma$, l'opérateur $L_\sigma(f) = L + \sigma I(f)$ est une bijection de $H_0(A, \Omega)$ vers son dual. L'équation $L_\sigma(f)u = T$ admet donc une solution unique.
3. Si $\sigma \in \Sigma$, alors :
   • Le noyau de $L_\sigma(f)$ et celui de l'opérateur adjoint $L^*_\sigma(f)$ sont de dimension finie et strictement positive.
   • L'équation $L_\sigma(f)u = T$ admet une solution si et seulement si $T$ est orthogonal (au sens du dualité) à tout élément du noyau de l'opérateur adjoint.

Résultats Techniques Annexes :

• Convergence vers le cas classique : Si la mesure $\mu$ est un Dirac en $s=1$, les résultats se réduisent exactement à ceux de Trudinger [Tru73].
• Conditions suffisantes : Les auteurs fournissent des conditions explicites sur les coefficients (notamment sur l'intégrabilité de $\Lambda$ et $\lambda^{-1}$) et sur la mesure $\mu$ pour garantir la "compact boundedness" (Appendices A et B).
• Contre-exemples : Ils montrent que la simple bornitude n'implique pas la bornitude compacte, justifiant la nécessité de l'hypothèse renforcée.

4. Contributions et Signification

• Unification Théorique : L'article offre un cadre unifié traitant simultanément des opérateurs locaux (ordre 1), fractionnaires (ordre $s < 1$) et des superpositions infinies d'ordres variables. Cela permet de modéliser des systèmes complexes où différents mécanismes de diffusion coexistent.
• Généralité des Coefficients : Contrairement à de nombreuses études antérieures sur les opérateurs non locaux qui supposent des coefficients réguliers ou bornés, ce travail accepte des coefficients mesurables, discontinus et non bornés, se rapprochant ainsi de la réalité physique de nombreux modèles (biologie, finance).
• Nouveaux Outils Analytiques : La construction de l'espace $H_0(A, g, \Omega)$ et l'analyse des embeddings pour des ordres fractionnaires variables avec des poids mesurables constituent une avancée technique majeure. La preuve de la compacité de l'embedding via la notion de "compact boundedness" est un apport méthodologique clé.
• Applications Potentielles : Ce cadre est directement applicable à la modélisation de la dispersion d'espèces biologiques (modèles de Lévy flights avec des stratégies hétérogènes), à la gestion des épidémies (coexistence de mesures locales et globales) et à d'autres phénomènes de transport anormal.

En résumé, cet article étend la théorie classique de Fredholm, pierre angulaire de l'analyse fonctionnelle des EDP, au domaine complexe et en pleine expansion des opérateurs non locaux d'ordre variable, en surmontant les difficultés techniques liées à la faible régularité des coefficients et à la structure non homogène des opérateurs.