Harnack inequality for anisotropic fully nonlinear equations with nonstandard growth

1. Problématique et Contexte

L'article vise à établir des inégalités de Harnack pour les solutions de viscosité d'une classe d'équations elliptiques fully non-linéaires dégénérées et anisotropes, présentant des conditions de croissance non standard.

L'équation principale étudiée est de la forme (en forme non-divergence) :
$$M^-_{\lambda,\Lambda}\left( \left[ |D_i u|^{\frac{p_i-2}{2}} \right] D^2 u \left[ |D_i u|^{\frac{p_i-2}{2}} \right] \right) - \mu \sum_i |D_i u|^{p_i-1} \le c_0$$
et son analogue pour l'opérateur $M^+$, où :

• $2 \le p_1 \le \dots \le p_n$ sont des exposants distincts (croissance non standard).
• $M^\pm_{\lambda,\Lambda}$ sont les opérateurs de Pucci.
• Le terme de dégradation est anisotrope : la dégénérescence se produit si n'importe quelle composante du gradient $\partial_i u$ s'annule, contrairement au Laplacien $p$-Laplacien standard où la dégénérescence nécessite que le gradient total soit nul.
• L'opérateur principal inclut le Laplacien anisotrope dégénéré $\tilde{\Delta}_{(p_i)} u = \sum \partial_i (|\partial_i u|^{p_i-2} \partial_i u)$.

Défis majeurs :

1. Dégénérescence anisotrope : La structure de l'équation est plus complexe que celle du $p$-Laplacien standard, rendant les méthodes classiques de régularité (comme la théorie De Giorgi-Nash-Moser) inapplicables directement, surtout pour les solutions de viscosité.
2. Croissance non standard : L'équation provient de fonctionnelles avec des croissances différentes selon les directions ($|z|^{p_1} \lesssim F(z) \lesssim |z|^{p_1} + |z|^{p_n}$). Sans une condition de proximité entre $p_1$ et $p_n$, des contre-exemples de régularité existent.
3. Absence d'outils standards : Pour les solutions de viscosité, l'absence d'inégalités de Sobolev empêche l'utilisation des techniques de De Giorgi, et l'absence de cadre fonctionnel abstrait rend difficile la construction de fonctions barrières.

2. Méthodologie

Les auteurs développent une approche basée sur la géométrie intrinsèque et des techniques de comparaison, adaptées spécifiquement à l'anisotropie de l'équation.

A. Géométrie Intrinsèque et Échelle

Au lieu d'utiliser des cubes standards $Q_r$, les auteurs introduisent des cubes intrinsèques $K_r(M)$ adaptés à l'échelle naturelle de l'équation à une hauteur $M$ :
$$K_r(M) := \{ |x_i| \le r^{\alpha_i} M^{\beta_i} \}$$
avec $\alpha_i = 1/p_i$ et $\beta_i = -(p_n - p_i)/p_i$. Cette géométrie permet de gérer l'hétérogénéité de l'échelle dans chaque direction coordonnée.

B. Estimations de Mesure de Base (Méthode du Paraboloïde Coulissant)

Pour obtenir des estimations de mesure (Lemme 3.1), les auteurs adaptent la méthode du paraboloïde coulissant (sliding paraboloid) introduite par Cabré et développée par Savin.

• Innovation : Au lieu d'un paraboloïde isotrope, ils utilisent un paraboloïde anisotrope :
  $$\phi(x) = \sum K_i |x_i|^{\frac{p_i}{p_i-1}}$$
  Ce choix correspond à la dégénérescence coordonnée par coordonnée de l'opérateur.
• Technique de régularisation : Comme ces fonctions ne sont pas $C^2$ sur les hyperplans coordonnés, ils utilisent l'argument de « restriction aux tranches » (slices) pour traiter les singularités.

C. Propriété de Doublement et Fonction Barrière

Le cœur de la contribution technique réside dans la preuve de la propriété de doublement (Lemme 5.1), qui est cruciale pour l'inégalité de Harnack.

• Construction explicite : Les auteurs construisent une fonction barrière anisotrope explicite :
  $$\Phi(x) = (|b_1 x_1|^{a_1} + \dots + |b_n x_n|^{a_n})^{-\gamma}$$
• Condition sur les exposants : Ils démontrent que cette fonction est une sous-solution de viscosité de l'équation si les exposants $(p_i)$ satisfont une condition spécifique (voir ci-dessous).
• Comparaison : En utilisant le principe de comparaison entre la solution $u$ et la barrière $\Phi$, ils déduisent que si la solution est grande en un point, elle doit rester grande dans un voisinage intrinsèque, établissant ainsi la propriété de doublement.

D. Estimations $L^\epsilon$ et Inégalité de Harnack

En combinant les estimations de mesure, la propriété de doublement et le lemme de recouvrement de Vitali adapté aux cubes intrinsèques, les auteurs établissent des estimations $L^\epsilon$ (décroissance algébrique des ensembles de niveau). Ces résultats permettent finalement de prouver l'inégalité de Harnack.

3. Résultats Principaux

Théorème Principal (Théorème 1.1)

Sous des conditions appropriées sur les exposants $(p_i)$, il existe des constantes $C_0, R_0 > 1$ telles que pour toute solution de viscosité non négative $u$ :

1. Majoration : Si $u(0) > 0$, alors $\sup_{K_r(u(0))} u \le C_0 u(0)$.
2. Minoration : Si $u(0) > 0$, alors $\inf_{K_r(C_0 u(0))} u \ge \frac{1}{C_0} u(0)$.

Condition sur les exposants (1.6) :
La validité de l'inégalité repose sur la condition suivante liant les exposants $p_1, p_n$ et les constantes elliptiques $\lambda, \Lambda$ :
$$\frac{p_n - 1}{p_1 - 1} \le p_n \frac{p}{n - \lambda/\Lambda}$$
où $p$ est la moyenne harmonique des $p_i$ : $p = (\frac{1}{n} \sum \frac{1}{p_i})^{-1}$.

• Cette condition est plus restrictive que celle nécessaire pour la bornitude des solutions faibles, mais elle est nécessaire pour la régularité Hölderienne dans ce cadre de solutions de viscosité.
• Les auteurs notent que si l'écart entre $p_1$ et $p_n$ est trop grand, des contre-exemples (solutions non bornées) existent, invalidant l'inégalité de Harnack.

Conséquence : Régularité Hölderienne

Le théorème implique directement que les solutions de viscosité sont localement Hölder continues (Corollaire 1.1) avec un exposant universel $\alpha \in (0,1)$.

4. Contributions Clés et Signification

1. Premier résultat pour les solutions de viscosité : C'est le premier travail établissant une inégalité de Harnack pour les solutions de viscosité d'équations anisotropes à croissance non standard. Les méthodes classiques pour les solutions faibles (basées sur l'intégration par parties et les inégalités de Sobolev) ne s'appliquent pas ici.
2. Nouvelle fonction barrière : La construction explicite de la fonction barrière anisotrope $\Phi(x)$ est une avancée majeure. Elle permet de contourner l'absence de cadre fonctionnel abstrait et de gérer la dégénérescence directionnelle.
3. Adaptation de la géométrie intrinsèque : L'adaptation des cubes intrinsèques et de la méthode du paraboloïde coulissant à un cadre où chaque direction a son propre exposant de croissance ($p_i$) démontre la flexibilité de la méthode de géométrie intrinsèque au-delà des équations paraboliques standards.
4. Conditions optimales (relatives) : L'article clarifie les conditions nécessaires sur les exposants $(p_i)$ pour la régularité, en fournissant une caractérisation plus explicite des paramètres de contrôle que dans les travaux antérieurs sur les solutions faibles.

Conclusion

Cet article comble une lacune importante dans la théorie de la régularité des équations elliptiques non linéaires. En surmontant les obstacles liés à l'anisotropie forte et à la croissance non standard via des techniques de viscosité et une géométrie intrinsèque fine, les auteurs établissent un cadre robuste pour l'analyse qualitative de ces équations, ouvrant la voie à de futures études sur la régularité fine et les problèmes aux limites pour ces opérateurs complexes.