A convergence rate for the entropic JKO scheme

1. Problématique et Contexte

L'article s'intéresse à l'approximation numérique des équations aux dérivées partielles (EDP) apparaissant comme des flots de gradient dans l'espace des mesures de probabilité muni de la métrique de Wasserstein ($W_2$).

• Le schéma JKO classique : Introduit par Jordan, Kinderlehrer et Otto, ce schéma utilise une discrétisation implicite en temps (Euler implicite) basée sur la minimisation d'un fonctionnel d'énergie $F$ plus la distance de Wasserstein. Bien que théoriquement robuste, le calcul de la distance de Wasserstein est numériquement coûteux.
• La régularisation entropique (Schéma Entropic JKO) : Pour pallier ce coût, on remplace la distance de Wasserstein par sa régularisation entropique, connue sous le nom de coût de Schrödinger ($Sch_{\alpha\tau}$). Cette modification permet d'utiliser l'algorithme de Sinkhorn, très efficace.
• Le problème de la convergence : Il est connu que si le paramètre de régularisation $\varepsilon$ (noté $\alpha\tau$ dans l'article) est proportionnel au pas de temps $\tau$ (i.e., $\varepsilon = \alpha\tau$), le schéma entropic ne converge pas vers la solution de l'EDP originale (1.2), mais vers une équation modifiée (1.3) comportant un terme de diffusion linéaire supplémentaire $\frac{\alpha}{2}\Delta\rho$.
• L'objectif : L'article vise à établir des bornes explicites de convergence (taux de convergence) entre le schéma JKO classique et le schéma entropic, ainsi qu'entre le schéma entropic et la solution de l'EDP originale, lorsque le pas de temps $\tau$ et le paramètre de régularisation $\alpha$ tendent vers zéro.

2. Hypothèses et Préliminaires

Les résultats reposent sur des hypothèses de convexité et de régularité sur le fonctionnel d'énergie $F : \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^d) \to \mathbb{R} \cup \{+\infty\}$ :

1. Semi-continuité inférieure (s.c.i.) de $F$ pour la convergence étroite avec moments d'ordre 2 bornés.
2. Convexité $\lambda$-le long des géodésiques généralisées : Une propriété clé (introduite par McCann et utilisée par Ambrosio, Gigli, Savaré) qui assure la stabilité du schéma JKO classique via l'Inégalité Variationnelle d'Évolution (EVI).
3. Contrôle de la croissance sous l'effet de la chaleur : Il existe $K$ tel que $F(\mu * \sigma_t) \le F(\mu) + Kt$, où $\sigma_t$ est le noyau de la chaleur.

Le fonctionnel $F$ est typiquement de la forme :
$$F(\rho) = \int V \rho + \frac{1}{2} \int (W * \rho)\rho + \int f(\rho)$$
incluant des potentiels externes, des interactions et des termes d'entropie ou de pression.

3. Méthodologie

La preuve principale (Théorème 1.3) repose sur une analyse itérative comparant les itérés successifs des deux schémas, notés $J^0_{k,\tau}$ (classique) et $J^\alpha_{k,\tau}$ (entropique).

Stratégie de décomposition :
Pour estimer la distance $W_2(J^0_{k+1,\tau}, J^\alpha_{k+1,\tau})$, les auteurs utilisent l'inégalité triangulaire pour décomposer l'erreur en deux termes :

1. Terme (I) - Contraction : La distance entre deux itérés du schéma classique partant de mesures différentes. Ce terme est contrôlé par la propriété de contraction du schéma JKO classique (dérivée de l'EVI discrète).
2. Terme (II) - Stabilité par perturbation : La distance entre l'itéré du schéma classique et celui du schéma entropique partant de la même mesure. C'est la contribution originale majeure.

Techniques clés utilisées :

• Inégalité Variationnelle d'Évolution (EVI) discrète : Utilisée pour le schéma classique pour obtenir des bornes de contraction.
• Construction de compétiteur : Pour estimer le terme (II), les auteurs construisent un compétiteur pour le problème entropique en perturbant la solution du problème classique. L'idée heuristique est que le flot de $F + \frac{\alpha}{2}H$ (où $H$ est l'entropie de Boltzmann) peut être approché par le flot de $F$ suivi d'un flot de chaleur de durée $\tau$.
• Comparaison des coûts : Ils comparent les valeurs optimales des problèmes variationnels classiques et entropiques en utilisant la propriété que le coût de Schrödinger est une perturbation de la distance de Wasserstein, avec un terme d'erreur lié à l'information de Fisher.
• Lemme de Gronwall discret : Une version quadratique du lemme de Gronwall est utilisée pour sommer les erreurs sur les $n$ itérations.

4. Résultats Principaux

A. Théorème 1.3 : Estimation de convergence entre les schémas

Les auteurs établissent une borne explicite sur la distance de Wasserstein entre les itérés du schéma classique et du schéma entropique après $n$ pas de temps ($t = n\tau$).

• Cas $\lambda = 0$ (convexité simple) :
  $$W_2(J^0_{n,\tau}, J^\alpha_{n,\tau}) \le \sqrt{2\tau(F(\mu_0) - F(J^0_{n,\tau}))} + \sqrt{n\tau\alpha(H(\mu_0) - H(J^\alpha_{n,\tau}) + Kn\tau)}$$
• Cas $\lambda \neq 0$ (convexité forte ou concavité) : Une borne similaire mais avec des facteurs dépendant de $\lambda$ et $\tau$, impliquant des termes exponentiels liés à la contraction/expansion du flot.

Cette borne montre que la distance entre les deux schémas est de l'ordre de $\sqrt{\alpha}$ (plus précisément $\sqrt{\alpha \tau}$ accumulé sur le temps).

B. Corollaire 1.3.1 : Convergence vers la solution de l'EDP originale

En combinant le Théorème 1.3 avec les taux de convergence connus du schéma JKO classique vers la solution $\rho^0(t)$ de l'EDP originale, on obtient :
$$W_2(J^\alpha_{n,t/n}(\mu_0), \rho^0(t)) \le C \left( \sqrt{\alpha} + \sqrt{\frac{1}{n}} \right)$$
Cela signifie que pour obtenir une précision $\epsilon$, il faut choisir $\tau \sim \epsilon^2$ et $\alpha \sim \epsilon^2$.

C. Théorème 1.4 : Comparaison avec le cas continu

Les auteurs comparent leur borne discrète avec une borne connue pour les solutions continues des EDP (1.2) et (1.3). Ils montrent que leur borne discrète est presque optimale par rapport au paramètre $\alpha$ (elle diffère d'un facteur 2 de la borne continue), mais n'est pas optimale par rapport à $\tau$ (elle ne tend pas vers 0 si $\alpha \to 0$ seul, ce qui est attendu car le schéma entropic a une limite différente).

5. Optimisation et Exemples (Section 5)

Pour étudier l'optimalité de leurs bornes, les auteurs utilisent un modèle jouet où $F$ est un potentiel quadratique ($V(x) = \frac{\lambda}{2}|x|^2$) et les mesures initiales sont gaussiennes.

• Dans ce cas, toutes les itérations et solutions d'EDP restent gaussiennes centrées.
• Ils calculent explicitement les variances et montrent que leurs bornes discrètes deviennent des égalités (à un terme négligeable en $\tau$ près) dans la limite $\tau \to 0$.
• Cela prouve que la perte d'optimalité dans $\alpha$ n'est pas due à leur méthode de preuve (découpage, inégalités intermédiaires), mais est inhérente à la nature de la régularisation entropique qui ajoute un terme de diffusion.

6. Signification et Impact

• Fondamentale : C'est la première étude systématique fournissant des taux de convergence explicites pour le schéma JKO entropique sous des hypothèses de convexité $\lambda$.
• Pratique : Ces résultats justifient théoriquement l'utilisation du schéma entropique (plus rapide numériquement) pour approximer les flots de gradient. Ils quantifient l'erreur introduite par la régularisation entropique, permettant aux praticiens de choisir les paramètres $\alpha$ et $\tau$ pour atteindre une précision souhaitée.
• Théorique : L'article clarifie la relation entre la régularisation entropique et l'ajout d'un terme de diffusion dans l'EDP limite, en fournissant des bornes rigides reliant les schémas discrets aux équations continues.

En résumé, cet article comble un vide théorique important en passant de la simple convergence qualitative du schéma entropique à une convergence quantitative, offrant ainsi des garanties mathématiques solides pour son utilisation en simulation numérique de flots de gradient dans l'espace de Wasserstein.