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A necessary condition for solvability by radicals

Ce document, préparé pour le cours MAT401 de l'Université de Toronto, présente une preuve de la condition nécessaire pour la résolubilité des équations algébriques par radicaux en s'appuyant sur la théorie de Galois.

Auteurs originaux : Askold Khovanskii (Department of Mathematics, University of Toronto, Canada)

Publié 2026-04-13

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CC BY 4.0

Auteurs originaux : Askold Khovanskii (Department of Mathematics, University of Toronto, Canada)

Article original sous licence CC BY 4.0 (http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/). ✨ Ceci est une explication générée par l'IA de l'article ci-dessous. Elle n'a pas été rédigée ni approuvée par les auteurs. Pour une précision technique, consultez l'article original. Lire la clause de non-responsabilité complète

🌟 Le Secret des Équations : Pourquoi certaines sont-elles insolubles ?

Imaginez que vous êtes un détective mathématique. Votre mission est de résoudre une équation (un casse-tête) en utilisant uniquement des opérations de base : l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et, surtout, les racines (comme la racine carrée $\sqrt{}$ ou la racine cubique $\sqrt[3]{}$ ).

Ce document, écrit par Askold Khovanskii, répond à une question fondamentale : Quand est-il possible de résoudre une équation avec ces outils ?

La réponse tient en une phrase : C'est possible si et seulement si la "structure cachée" de l'équation est assez simple.

Voici comment l'auteur nous emmène à travers ce voyage, étape par étape.

1. Le Monde des "Terres" et des "Rois" (Théorie de Galois)

Pour comprendre le problème, l'auteur utilise un langage spécial :

Le corps de base ( $K$ ) : C'est votre point de départ, comme un petit village avec des règles simples.
L'extension ( $E$ ) : C'est un grand royaume que vous construisez en ajoutant des nouvelles terres (les solutions de l'équation) à votre village.
Le Groupe de Galois : Imaginez que ce royaume a un Roi (le groupe) qui possède une armée de Gardiens (les automorphismes).

Le rôle des Gardiens :
Ces Gardiens ont le pouvoir de déplacer les habitants du royaume (les nombres) d'un endroit à un autre, mais ils doivent respecter une règle stricte : ils ne peuvent pas toucher aux habitants du village d'origine (le corps de base $K$ ).

Analogie : Imaginez un jeu de cartes où vous mélangez les cartes rouges et noires, mais vous ne pouvez jamais changer la valeur des cartes qui étaient déjà sur la table au début.

La règle d'or (Théorème 1.3) :
Le nombre de Gardiens (la taille du groupe) est exactement égal à la "taille" du royaume par rapport au village. Plus le royaume est complexe, plus il y a de Gardiens.

2. La Carte des Terres Intermédiaires

L'auteur nous montre que si vous avez un grand royaume ( $E$ ) et un village ( $K$ ), il existe souvent des villages intermédiaires ( $B$ ) entre les deux.

Le lien magique : Chaque village intermédiaire correspond à un sous-groupe de Gardiens.
La règle de sécurité : Si un village intermédiaire est "normal" (c'est-à-dire qu'il est construit de manière symétrique et stable), alors le groupe de Gardiens qui protège ce village est un sous-groupe normal.

Pourquoi c'est important ?
Cela permet de décomposer le problème. Au lieu de regarder le grand royaume d'un coup, on peut le découper en tranches plus petites. Si chaque tranche est simple, l'ensemble est gérable.

3. La Tour des Radicaux (La solution par racines)

Maintenant, parlons de la "solvabilité par radicaux".
Résoudre une équation par radicaux, c'est comme construire une tour étage par étage :

Vous commencez au sol ( $K$ ).
Vous ajoutez une racine carrée (ou cubique, etc.) pour faire le premier étage ( $R_1$ ).
Vous ajoutez une autre racine sur le premier étage pour faire le deuxième ( $R_2$ ), et ainsi de suite.

Le problème :
Parfois, cette tour est "tordue". Si vous ajoutez une racine, vous créez souvent d'autres racines cachées que vous n'avez pas prévues. La tour n'est pas "normale" (elle n'est pas symétrique), et le Groupe de Galois ne peut pas être défini correctement sur cette tour tordue.

La solution de l'auteur (La Normalisation) :
Pour analyser la tour, l'auteur propose de la "normaliser".

Imaginez que vous construisez non pas une tour tordue, mais un château fort parfaitement symétrique qui englobe votre tour.
Ce château est construit en ajoutant d'abord toutes les racines de l'unité (les "clés" magiques qui permettent de tourner les nombres sans les casser), puis en ajoutant vos racines.
Ce château est "normal", donc on peut y appliquer la théorie des Gardiens.

4. Le Secret de la Solvabilité : La Chaîne de Gardiens

Voici le cœur du message du document (Théorème 9.1) :

Si votre équation peut être résolue par radicaux, alors le Groupe de Gardiens de votre château (le Groupe de Galois) doit être solvable.

Qu'est-ce qu'un groupe "solvable" ?
C'est un groupe qui peut être décomposé en une chaîne de sous-groupes, où chaque étape est commutative (c'est-à-dire que l'ordre dans lequel on applique les actions n'a pas d'importance).

Analogie : Imaginez une équipe de travail.
- Si l'équipe est solvable, vous pouvez la diviser en petits groupes. Dans chaque petit groupe, tout le monde s'entend bien et peut travailler dans n'importe quel ordre sans se marcher sur les pieds (c'est commutatif).
- Si l'équipe est non-solvable (comme le groupe des permutations de 5 éléments ou plus), c'est le chaos. Si vous changez l'ordre des tâches, le résultat est différent. C'est trop complexe pour être résolu avec des radicaux simples.

Les Lemmes 8.2, 8.3 et 8.4 :
L'auteur prouve que chaque fois que vous ajoutez une racine (un étage de la tour), le groupe de Gardiens associé à cette étape est commutatif (c'est un groupe cyclique ou une somme de groupes cycliques).

Ajouter une racine carrée = Ajouter un groupe simple et ordonné.
Ajouter une racine cubique = Ajouter un autre groupe simple et ordonné.

5. La Conclusion Finale

Le document conclut avec une logique implacable :

Si une équation est soluble par radicaux, elle peut être "encadrée" dans une tour de radicaux.
Cette tour peut être intégrée dans un château normal (la normalisation).
La structure de ce château est faite d'une chaîne de groupes commutatifs (grâce aux propriétés des racines).
Par conséquent, le Groupe de Galois global de l'équation doit être solvable (il doit pouvoir être décomposé en morceaux commutatifs).

En résumé :
Si le "Groupe de Gardiens" de votre équation est trop complexe (non solvable), alors aucune combinaison de racines carrées, cubiques, etc., ne pourra jamais résoudre l'équation. C'est la preuve mathématique rigoureuse de pourquoi l'équation du 5ème degré (et au-delà) n'a pas de formule générale de résolution, contrairement aux équations du 2ème, 3ème ou 4ème degré.

C'est comme dire : "Si le labyrinthe a une structure trop chaotique, il n'existe pas de carte simple (radicale) pour en trouver la sortie."

1. Problématique

L'objectif principal de ce document est d'établir une condition nécessaire pour qu'une équation polynomiale soit résoluble par radicaux. Plus précisément, l'auteur vise à démontrer que si une équation $P(x) = 0$ à coefficients dans un corps de caractéristique zéro est résoluble par radicaux, alors son groupe de Galois (associé au corps de décomposition de $P$ ) doit être un groupe résoluble.

Le texte se concentre sur la direction « résoluble par radicaux $\implies$ groupe de Galois résoluble », en s'appuyant sur la théorie de Galois telle qu'enseignée dans le cours MAT401 de l'Université de Toronto. La condition suffisante (groupe résoluble $\implies$ résoluble par radicaux) est mentionnée comme étant traitée dans un document ultérieur et reposant sur l'algèbre linéaire.

2. Méthodologie

La démonstration suit une progression logique rigoureuse, structurée en plusieurs étapes clés :

Rappel des fondements de la théorie de Galois : L'auteur définit d'abord les extensions normales, les groupes de Galois, et établit le lien entre la taille du groupe et le degré de l'extension (Théorème 1.3). Il utilise des résultats standards sur les sous-corps intermédiaires et les sous-groupes correspondants (Correspondance de Galois).
Construction de chaînes d'extensions :
- Il définit une chaîne d'extensions radicales classique (ajout successif de racines $k_i$ -ièmes).
- Il identifie un problème technique : une telle chaîne n'est pas nécessairement une extension normale, ce qui empêche la définition directe d'un groupe de Galois global.
- Pour contourner cela, il introduit la notion de normalisation d'une chaîne radiale. Cette normalisation consiste à construire une suite d'extensions normales imbriquées $K = E_0 \subset E_1 \subset \dots \subset E_{n+1}$ qui contient la chaîne radiale originale.
Analyse des groupes de Galois des extensions normalisées :
- L'étape $E_1$ est le corps de décomposition de $x^N - 1$ (racines de l'unité). Le groupe de Galois associé est isomorphe à un sous-groupe du groupe multiplicatif des unités modulo $N$ , donc commutatif (Lemme 8.2).
- Les étapes suivantes $E_{i+1}$ sont construites comme corps de décomposition de polynômes de la forme $\prod (x^{k_i} - \omega)$ , où $\omega$ parcourt une orbite sous l'action du groupe de Galois précédent.
- En utilisant le Lemme 8.3 et 8.4, l'auteur montre que si le corps de base contient les racines de l'unité nécessaires, les groupes de Galois relatifs à chaque étape de la chaîne normalisée sont isomorphes à des sous-groupes de sommes directes de groupes cycliques, donc commutatifs.
Synthèse par récurrence : En utilisant le lemme 5.3, il démontre que si une chaîne d'extensions normales possède des groupes de Galois relatifs commutatifs, alors le groupe de Galois global de l'extension totale est résoluble.
Passage au sous-groupe : Puisque le corps de décomposition original $E$ est un sous-corps intermédiaire normal de l'extension normalisée $E_{n+1}$ , le groupe de Galois de $E$ est un quotient du groupe résoluble $G(E_{n+1}, K)$ . Un quotient d'un groupe résoluble étant résoluble, la condition est prouvée.

3. Contributions Clés

Formalisation de la « Normalisation » : La contribution méthodologique la plus significative est la définition précise (Définition 7.1 et Théorème 7.2) d'une « normalisation » d'une chaîne d'extensions radicales. Cela permet de transformer une structure algébrique non normale (la chaîne radiale brute) en une tour d'extensions normales, rendant ainsi l'application de la théorie de Galois possible et rigoureuse.
Preuve structurée de la condition nécessaire : Le texte fournit une preuve auto-contenue et pédagogique reliant explicitement la structure des radicaux (racines de l'unité et extraction de racines) à la structure de commutativité des groupes de Galois intermédiaires, aboutissant à la résolubilité globale.
Utilisation des orbites : L'auteur utilise la notion d'orbite d'un élément sous l'action du groupe de Galois (Définition 3.1) pour construire explicitement les polynômes minimaux et les extensions nécessaires, assurant que les coefficients restent dans le corps de base approprié.

4. Résultats Principaux

Théorème 9.1 (Résultat Central) : Si une équation polynomiale $P(x)=0$ sur un corps $K$ de caractéristique zéro est résoluble par radicaux, alors son groupe de Galois $G(E, K)$ (où $E$ est le corps de décomposition de $P$ ) est un groupe résoluble.
Lemmes techniques :
- Le groupe de Galois d'une extension cyclotomique (racines de l'unité) est abélien.
- Le groupe de Galois d'une extension obtenue par adjonction de racines $n$ -ièmes (en présence des racines de l'unité) est abélien.
- La composition d'extensions avec des groupes de Galois relatifs abéliens donne un groupe de Galois global résoluble.

5. Signification

Ce document est une note de cours destinée à clarifier un pilier fondamental de l'algèbre moderne : le lien entre la résolubilité algébrique et la structure des groupes.

Pédagogie : Il offre une approche claire et progressive, évitant les sauts logiques souvent présents dans les démonstrations classiques, en introduisant explicitement la notion de normalisation pour gérer les défauts de normalité des extensions radicales.
Fondement théorique : Il pose les bases nécessaires pour comprendre pourquoi l'équation générale de degré 5 n'est pas résoluble par radicaux (son groupe de Galois est $S_5$ , qui n'est pas résoluble).
Contexte : En tant que support de cours (MAT401), il sert de pont entre la théorie de Galois abstraite et ses applications concrètes à la résolution d'équations, en séparant clairement la condition nécessaire (présentée ici) de la condition suffisante.

En résumé, Khovanskii démontre que la capacité à résoudre une équation par radicaux impose une contrainte structurelle forte sur la symétrie des racines de l'équation : cette symétrie doit pouvoir être décomposée en une série d'étapes abéliennes, ce qui se traduit mathématiquement par la résolubilité du groupe de Galois.