On the number of missing integers in partitions

Titre : Sur le nombre d'entiers manquants dans les partitions

Auteurs : Subhash Chand Bhoria, Pramod Eyyunni et Subhrangsu Santra.

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des partitions et des séries $q$. Il se concentre sur une statistique de partition récemment popularisée : le mex (minimal excludant), défini comme le plus petit entier positif manquant dans une partition.

Les auteurs élargissent cette notion pour étudier l'ensemble des entiers manquants d'une partition. Un entier manquant est défini comme un entier positif strictement inférieur à la plus grande partie de la partition, qui n'apparaît pas comme partie.

• Objectif principal : Compter le nombre de partitions d'un entier $n$ possédant exactement $m$ entiers manquants (supérieurs ou égaux à un seuil $j$).
• Classes de partitions étudiées :
  1. Les partitions non restreintes (unrestricted partitions).
  2. Les sur-partitions (overpartitions), où la première occurrence d'un entier peut être surmontée d'une barre.

2. Méthodologie

La démarche des auteurs repose principalement sur l'analyse combinatoire et l'algèbre des séries $q$ :

• Fonctions génératrices : L'outil central est la construction de fonctions génératrices à plusieurs variables (généralement $q$ pour la taille de la partition et $w$ pour compter le nombre d'entiers manquants).
• Identités $q$-séries : Les preuves s'appuient sur des théorèmes classiques tels que :
  • Le théorème du binôme $q$ (q-binomial theorem).
  • L'identité du produit triple de Jacobi.
  • L'identité d'Euler reliant les partitions en parties distinctes aux partitions en parties impaires.
• Différentiation : Pour obtenir des statistiques spécifiques (comme le nombre de partitions avec exactement un entier manquant), les auteurs dérivent les fonctions génératrices par rapport à la variable $w$ et posent ensuite $w=0$.
• Congruences modulaires : L'analyse des coefficients modulo 3 et 4 est réalisée en simplifiant les produits infinis dans ces anneaux et en les reliant aux séries de Jacobi.

3. Résultats Principaux

A. Partitions Non Restreintes

• Fonction génératrice générale (Théorème 2.1) : Les auteurs établissent une identité fermée pour la fonction génératrice $P_j(n, m)$, comptant les partitions de $n$ avec exactement $m$ entiers manquants $\ge j$.
  $$\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=0}^{\infty} P_j(n, m) w^m q^n = \frac{w^{-j}}{( \frac{w-1}{w}; q)_j} \left( \frac{((w-1)q; q)_\infty}{(wq; q)_\infty} - \sum_{\ell=0}^{j-1} \frac{(\frac{w-1}{w}; q)_\ell}{(q; q)_\ell} (wq)^\ell \right)$$
• Cas particuliers :
  • Pour $j=1$, ils obtiennent une forme produit simple.
  • Pour $w=0$, ils retrouvent la fonction génératrice des partitions « sans lacunes » (gap-free).
  • Pour $w=1$, on retrouve la fonction génératrice standard des partitions $p(n)$.
• Parité du nombre d'entiers manquants :
  • Définition de $Me(n)$ (nombre de partitions avec un nombre pair d'entiers manquants) et $Mo(n)$ (nombre impair).
  • Théorème 2.6 : Une congruence modulo 3 est prouvée pour la différence $Me(n) - Mo(n)$, dépendant de la nature de $n$ (carré parfait pair, impair ou non carré).
  • Conjectures d'inégalité (Bias) : Les auteurs conjecturent que pour $n > 34$, $Me(n) > Mo(n)$, suggérant un biais en faveur des partitions avec un nombre pair d'entiers manquants.
• Statistique généralisée (Théorème 2.9) : Ils étendent le concept aux entiers apparaissant avec une multiplicité inférieure à $k$. Ils prouvent que le nombre total d'entiers distincts $\le$ la plus grande partie apparaissant moins de $k$ fois dans toutes les partitions de $n$ est égal au nombre total de parties différentes de $k$ dans ces partitions.

B. Sur-partitions (Overpartitions)

• Analogues : Les auteurs développent des résultats parallèles pour les sur-partitions.
• Fonction génératrice (Théorème 3.1) : Une identité similaire est établie pour les sur-partitions, impliquant des produits $q$ modifiés par le facteur 2 (dû à la possibilité de sur-ligner les parties).
• Résultats de congruence (Théorème 3.7) : Pour les sur-partitions, la différence $Me(n) - Mo(n)$ satisfait une congruence modulo 4 :
  • $0 \pmod 4$ si $n$ n'est pas un carré.
  • $2 \pmod 4$ si $n$ est un carré.
• Conjecture de biais : Une inégalité similaire est conjecturée pour les sur-partitions : $Me(n) > Mo(n)$ pour $n > 27$.

4. Contributions Clés

1. Généralisation du mex : Passage de l'étude d'un seul entier manquant (le mex) à l'étude de l'ensemble complet des entiers manquants d'une partition.
2. Nouvelles identités de partitions : Établissement de nouvelles formules de fonctions génératrices fermées reliant les statistiques d'entiers manquants aux produits $q$ classiques.
3. Liens combinatoires : Interprétation combinatoire de certaines identités, par exemple, l'équivalence entre le nombre de partitions avec exactement un entier manquant et le nombre de partitions où exactement une partie apparaît deux fois (toutes les autres étant distinctes).
4. Conjectures de biais : Proposition de nouvelles inégalités asymptotiques concernant la parité du nombre d'entiers manquants, enrichissant la littérature sur les biais dans les statistiques de partitions (comme le biais de la parité des parties).

5. Signification et Perspectives

Cet article ouvre de nouvelles voies de recherche en combinatoire analytique :

• Preuves bijectives : Les auteurs soulignent le besoin de preuves bijectives pour leurs résultats algébriques (notamment pour le Théorème 2.9 et l'identité de Corollaire 2.4), ce qui renforcerait la compréhension structurelle de ces statistiques.
• Formules asymptotiques : Ils proposent de déterminer des formules asymptotiques et exactes (type Hardy-Ramanujan-Rademacher) pour les coefficients des nouvelles séries génératrices.
• Nouvelles congruences : L'existence de congruences pour d'autres modules (autres que 3 et 4) est posée comme une question ouverte.
• Extension aux sur-partitions : La réussite de l'extension aux sur-partitions suggère que cette approche peut être appliquée à d'autres classes de partitions (partitions en parties distinctes, partitions de Rogers-Ramanujan, etc.).

En résumé, ce travail fournit un cadre analytique robuste pour l'étude des « trous » dans les partitions, reliant des statistiques locales (entiers manquants) à des structures globales via des identités $q$-séries profondes.