Derivation of effective kinetic equations describing oscillations in viscoelasticity and in compressible Navier-Stokes

1. Problématique et Contexte

Le document traite de la problématique fondamentale des solutions d'équations aux dérivées partielles (EDP) présentant des structures oscillatoires persistantes. Ces oscillations apparaissent dans divers contextes physiques tels que les transitions de phase, la turbulence et l'homogénéisation non linéaire.

Le défi central réside dans le fait que, pour des systèmes hyperboliques-paraboliques (combinant des termes de transport et de dissipation), les mécanismes de régularisation (comme la viscosité) ne suffisent pas toujours à lisser les oscillations initiales, en particulier lorsque les potentiels d'énergie stockée sont non convexes (double puits) ou lorsque les lois de pression sont non monotones.

L'objectif de l'auteur est de dériver des équations effectives capables de décrire la dynamique de ces oscillations persistantes, au-delà de la simple description par des mesures de Young (qui sont statiques et ne capturent pas bien la dynamique temporelle).

Les deux systèmes modèles étudiés sont :

1. La viscoélasticité de type Kelvin-Voigt en dimension 1 (coordonnées lagrangiennes), avec des énergies de déformation à double puits modélisant les transitions de phase.
2. Les équations de Navier-Stokes compressibles pour un fluide barotrope, avec des pressions non monotones (type Van der Waals).

2. Méthodologie

L'approche méthodologique repose sur le passage de la théorie des mesures de Young à celle des solutions cinétiques généralisées.

• Limites faibles et Mesures de Young : Traditionnellement, la limite faible d'une suite de solutions oscillantes $u^\varepsilon$ est représentée par une mesure de Young $\nu_{t,x}$, telle que $\lim f(u^\varepsilon) = \int f(\lambda) d\nu_{t,x}(\lambda)$. Cependant, cette formulation est difficile à manipuler dynamiquement.
• Fonctions Cinétiques : L'auteur introduit la fonction de distribution $F(t, x, \xi)$ (ou $G$), définie comme la limite faible de la fonction indicatrice $\mathbb{1}_{u^\varepsilon < \xi}$. Cette fonction est liée à la mesure de Young par $F(t, x, \xi) = \nu_{t,x}((-\infty, \xi])$.
• Formulation Cinétique : En utilisant des identités de renormalisation et des arguments de compacité compensée, l'auteur dérive des équations de transport pour ces fonctions cinétiques. Ces équations couplent l'évolution de la distribution des oscillations avec les variables macroscopiques (vitesse, contrainte totale, flux visqueux effectif).
• Construction de Solutions Oscillatoires : Avant de dériver les équations effectives, le papier construit explicitement des solutions avec des oscillations persistantes pour les deux systèmes, en utilisant des données initiales périodiques et des conditions de saut (conditions de Rankine-Hugoniot) sur des interfaces stationnaires ou mobiles.

3. Résultats Clés et Contributions

A. Théorie d'Existence et Construction d'Oscillations

• Viscoélasticité (Section 2 & 4) : L'auteur rappelle les théorèmes d'existence pour les solutions faibles d'énergie finie. Il démontre que pour des potentiels non convexes, des solutions avec des oscillations persistantes peuvent être construites. Ces solutions sont caractérisées par une vitesse continue mais une déformation (ou contrainte) discontinue, sautant entre deux phases stables.
• Navier-Stokes Compressible (Section 5) : Il est montré que pour des pressions non monotones, il existe des solutions exactes avec des champs de vitesse continus mais des densités discontinues (sauts entre phases) se propageant le long des caractéristiques. Ces solutions servent de paradigme pour l'homogénéisation.

B. Dérivation d'Équations Effectives pour la Viscoélasticité 1D (Section 7)

C'est le cœur de la contribution méthodologique. Pour le système :
$$\partial_t u = \partial_x v, \quad \partial_t v = \partial_x (\sigma(u) + \partial_x v)$$
où $\sigma(u)$ est non monotone, l'auteur dérive le système effectif couplé suivant pour la fonction cinétique $F(t,x,\xi)$ et la vitesse macroscopique $v(t,x)$ :

1. Équation Cinétique :
   $$\partial_t F + \partial_\xi \left[ (v_x + \sigma(u) - \sigma(\xi)) F \right] + \sigma'(\xi)F = 0$$
   Cette équation décrit le transport de la distribution des oscillations dans l'espace des phases $\xi$. Le terme de vitesse dépend de la contrainte macroscopique $S = \sigma(u) + v_x$ et de la différence locale $\sigma(u) - \sigma(\xi)$.

2. Équation Macroscopique :
   $$\partial_t v = \partial_{xx} v + \partial_x (\sigma(u))$$
   avec la contrainte totale donnée par le moment de la distribution :
   $$S = \int \sigma(\xi) dF_{t,x}(\xi) + v_x$$

Résultat majeur : Le système effectif est un système fermé où l'équation cinétique (de type transport) est couplée aux équations de conservation macroscopiques via les moments de la distribution. Cela permet de décrire la séparation de phases et l'évolution des oscillations dans le temps.

C. Homogénéisation pour Navier-Stokes Compressible (Section 8)

Pour le système de Navier-Stokes avec pression non monotone, l'auteur reprend les résultats de Hillairet (basés sur les mesures de Young) et propose une reformulation cinétique.

• En utilisant la fonction $H(t, x, \xi) = \text{w-lim} (\rho_n \mathbb{1}_{\rho_n < \xi})$, il dérive une équation de transport pour $H$ :
  $$\partial_t H + \text{div}(uH) - \frac{1}{\lambda+2\mu}\xi \left( p(\xi) - p(\rho) + (\lambda+2\mu)\text{div}u \right) \partial_\xi H = 0$$
• Ce système couple l'évolution de la distribution de densité $H$ avec les équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement macroscopiques.
• L'approche met en évidence le rôle crucial du flux visqueux effectif $z = p(\rho) - (\lambda+2\mu)\text{div}u$ dans la fermeture du système.

4. Signification et Impact

• Dépassement des Mesures de Young : Le travail montre comment passer d'une description statique (mesures de Young) à une description dynamique (équations cinétiques) pour les systèmes hyperboliques-paraboliques. Cela ouvre la voie à une meilleure compréhension de la dynamique des oscillations, au-delà de la simple limite faible.
• Modélisation des Transitions de Phase : Les équations effectives dérivées permettent de modéliser la séparation de phases et la formation de microstructures dans les matériaux viscoélastiques et les fluides compressibles, là où les modèles classiques échouent à capturer la dynamique interne des oscillations.
• Outils pour l'Analyse : L'utilisation de la formulation cinétique (inspirée des lois de conservation scalaires et des travaux de Lions-Perthame-Tadmor) fournit un cadre robuste pour étudier la régularité, l'unicité et le comportement asymptotique des solutions oscillantes.
• Validation par l'Exemple : La construction explicite de solutions oscillantes avant la dérivation des équations effectives valide la pertinence du cadre théorique et montre que les oscillations ne sont pas un artefact mathématique mais une propriété physique réelle de ces systèmes non convexes.

En résumé, ce document établit un pont rigoureux entre la théorie de l'homogénéisation non linéaire et la formulation cinétique, fournissant des équations effectives capables de décrire la propagation et l'évolution des oscillations dans des systèmes mécaniques complexes régis par des lois non convexes.