Fourier Dimension in Duffin--Schaeffer Conjecture

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres métrique, plus précisément dans l'approximation diophantienne. Le problème central consiste à déterminer la taille (mesurée par la dimension de Hausdorff et la dimension de Fourier) des ensembles de nombres réels bien approximables par des rationnels, sous des contraintes arithmétiques spécifiques.

• Contexte historique : Le théorème de Khintchine–Groshev caractérise la mesure de Lebesgue des ensembles d'approximation. La conjecture de Duffin–Schaeffer (prouvée récemment par Koukoulopoulos et Maynard) affine ce résultat en imposant une condition de coprimalité ($\gcd(p,q)=1$) pour les approximations homogènes ($\theta=0$).
• Le défi actuel : Bien que la dimension de Hausdorff de ces ensembles soit bien comprise (notamment grâce aux travaux de Jarník et plus récemment de Yu), la dimension de Fourier reste un problème ouvert et difficile. La dimension de Fourier, notée $\dim_F E$, est liée à la décroissance du transformé de Fourier d'une mesure de probabilité supportée sur $E$. Un ensemble est dit « Salem » si sa dimension de Hausdorff égale sa dimension de Fourier.
• Objectif spécifique : Les auteurs visent à déterminer la dimension de Fourier de l'ensemble $W^*(\psi, \theta)$, défini comme l'ensemble des $x \in [0, 1]$ tels que :
  $$\left| x - \frac{p + \theta(q)}{q} \right| < \frac{\psi(q)}{q}$$
  pour une infinité de couples $(p, q) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{N}$ satisfaisant une contrainte de coprimalité généralisée : $\gcd(B_q p + A_q, q) = 1$, où $\{A_q\}$ et $\{B_q\}$ sont des séquences d'entiers avec $\gcd(A_q, B_q)=1$. Ce cadre inclut le cas homogène classique ($A_q=0, B_q=1$) et le cas inhomogène ($\theta \neq 0$).

2. Méthodologie

La preuve du résultat principal (Théorème 1) repose sur une analyse fine de la structure de limite supérieure (limsup) de l'ensemble $W^*(\psi, \theta)$ et sur la construction explicite de mesures de probabilité.

A. Majoration de la dimension (Proposition 2.1)

Pour montrer que $\dim_F W^* \leq 2s(\psi)$, les auteurs procèdent par l'absurde :

1. Ils supposent l'existence d'une mesure $\nu$ supportée sur $W^*$ dont le transformé de Fourier décroit comme $|\xi|^{-s}$ avec $s > s(\psi)$.
2. Ils exploitent la structure de limsup de l'ensemble et appliquent le premier lemme de Borel-Cantelli.
3. Une estimation clé du $\nu$-mesure des intervalles d'approximation est obtenue en utilisant l'identité de Parseval.
4. Outil technique majeur : L'utilisation de sommes de Ramanujan généralisées (Lemme 2.3) pour borner les termes d'erreur impliquant les coefficients de Fourier. Ils démontrent que la somme sur les $p$ coprimaux avec $q$ (via la condition $\gcd(B_q p + A_q, q)=1$) est bornée par $\gcd(q, k) \log q$.
5. Cela permet de montrer que la mesure totale de l'ensemble est nulle, contredisant l'hypothèse initiale.

B. Minoration de la dimension (Proposition 2.2)

Pour établir la borne inférieure $\dim_F W^* \geq \min\{2s(\psi), 1\}$, les auteurs construisent une mesure de probabilité $\nu$ supportée sur $W^*$ avec une décroissance de Fourier contrôlée.

1. Construction itérative : Ils utilisent une méthode de type « produit de mesures » (inspirée des travaux de Kaufman, Bluhm et Cai-Hambrook). La mesure $\nu$ est définie comme la limite faible d'une suite de mesures absolument continues $d\nu_k = h_0 g_{M_1} \dots g_{M_k} dx$.
2. Fonctions de densité : Les fonctions $g_M$ sont construites comme des moyennes de fonctions périodiques $\Phi^*_{q,\theta}$, elles-mêmes basées sur une fonction lisse $f$ à support compact.
3. Sélection des paramètres : Les indices $q$ sont sélectionnés dans des ensembles $Q(M)$ définis de manière à garantir que la somme des termes $\left(\frac{\psi(q)}{q}\right)^\eta$ diverge pour $\eta < s(\psi)$.
4. Estimation des coefficients de Fourier : Le Lemme 2.6 fournit des bornes précises pour les coefficients de Fourier de $g_M$, distinguant les petites et grandes fréquences. Ces bornes dépendent de la fonction $\psi$ et de la structure arithmétique (via les sommes de Ramanujan).
5. Stabilité : Le Lemme 2.7 assure que la multiplication itérative par les densités $g_{M_k}$ préserve la décroissance de Fourier souhaitée, permettant de conclure que la mesure limite $\nu$ possède la décroissance requise.

3. Résultats Principaux

Le résultat central de l'article est le Théorème 1 :

Soit $\psi: \mathbb{N} \to [0, 1/2)$ une fonction positive satisfaisant la condition de convergence de Duffin–Schaeffer généralisée :
$$\sum_{q \in \mathbb{N}} \psi(q) \prod_{p|q, p \nmid B_q} (1 - p^{-1}) < \infty$$
Alors, la dimension de Fourier de l'ensemble $W^*(\psi, \theta)$ est donnée par :
$$\dim_F W^*(\psi, \theta) = \min\{2s(\psi), 1\}$$
où $s(\psi) = \inf \left\{ s \geq 0 : \sum_{q=1}^\infty \left(\frac{\psi(q)}{q}\right)^s < \infty \right\}$.

4. Contributions et Implications

Les contributions de cet article sont multiples et significatives :

1. Généralisation Inhomogène Complète : Le résultat fournit une caractérisation complète de la dimension de Fourier dans le cas inhomogène ($\theta \neq 0$), un domaine où les résultats étaient auparavant limités ou inexistants pour des fonctions d'approximation générales.
2. Résolution de la Conjecture de Chen et Xiong (Version Coprime) : L'article résout positivement la conjecture de Chen et Xiong concernant la version avec condition de coprimalité. Il confirme que la formule de dimension reste valable même avec la contrainte $\gcd(B_q p + A_q, q) = 1$, qui est plus restrictive que le cas standard.
3. Récupération des Résultats Classiques : En posant $A_q=0$ et $B_q=1$, le théorème retrouve les résultats classiques de Kaufman et Bluhm pour le cas homogène avec $\psi(q) = q^{-\tau}$ ($\tau \geq 1$), validant ainsi la cohérence de l'approche.
4. Innovation Technique : La méthode développée pour gérer la contrainte de coprimalité généralisée (via les séquences $A_q, B_q$) et les sommes de Ramanujan associées représente un raffinement non trivial des techniques existantes (notamment celles de Cai et Hambrook), qui ne s'appliquaient pas directement à ce cadre restreint.

5. Signification

Cet article renforce le lien entre l'analyse harmonique et la théorie des nombres métrique. En établissant que l'ensemble des nombres bien approximables sous contraintes de coprimalité est un ensemble de Salem (ou du moins possède une dimension de Fourier maximale possible compte tenu de la fonction $\psi$), les auteurs ouvrent la voie à de nouvelles applications :

• L'existence de nombres normaux dans ces ensembles fractals.
• Le développement de la théorie de l'approximation diophantienne multiplicative et simultanée sur des ensembles fractals.
• La compréhension plus profonde des propriétés de régularité (lissité) des mesures naturelles associées aux ensembles diophantiens.

En résumé, Tan et Zhou ont réussi à étendre la théorie de la dimension de Fourier au-delà du cas homogène et sans contrainte, fournissant un cadre unifié et robuste pour l'analyse métrique des ensembles d'approximation diophantienne.