Extremal densities for forbidden configurations in $S$-smooth numbers

Titre : Densités extrémales pour les configurations interdites dans les nombres S-lisses

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la théorie des nombres combinatoire et de la théorie des nombres lisses. Le problème central consiste à déterminer la densité maximale d'un sous-ensemble $A$ d'entiers ne contenant aucune configuration multiplicative interdite de la forme $\{n, p_1n, \dots, p_rn\}$, où $S = \{p_1, \dots, p_r\}$ est un ensemble fini de nombres premiers distincts.

Le travail se concentre sur deux cadres principaux :

1. Le cadre des nombres S-lisses : On considère l'ensemble $M(S)$ des entiers dont tous les facteurs premiers appartiennent à $S$. On cherche la taille maximale $F_S(X)$ d'un sous-ensemble de $M(S) \cap [1, X]$ évitant les configurations interdites.
2. Le cadre de l'intervalle entier : On étend le problème à l'ensemble des entiers $[1, N]$ pour obtenir une densité asymptotique $\alpha_S$.

Ce problème généralise des résultats classiques (Graham, Witsenhausen, Spencer) qui traitaient du cas $S=\{2, 3\}$ (interdiction de $\{x, 2x, 3x\}$).

2. Méthodologie

L'auteur utilise une approche combinatoire et analytique sophistiquée, reliant le problème arithmétique à la géométrie des nombres et à la théorie des graphes.

• Représentation géométrique (Simplexe pondéré) :
  En utilisant les coordonnées logarithmiques (exposants des facteurs premiers), l'ensemble des nombres S-lisses $\le X$ est isomorphe à un simplexe pondéré $\Sigma_S(u)$ dans le réseau $\mathbb{Z}_{\ge 0}^r$, où $u = \log X$. La configuration interdite $\{n, p_1n, \dots, p_rn\}$ correspond géométriquement à un « coin unitaire » (un point et ses $r$ voisins immédiats le long des axes) dans ce simplexe. Le problème devient alors celui de trouver le plus grand sous-ensemble sans coin unitaire.

• Bornes inférieures (Coloration modulaire) :
  Pour établir la borne inférieure, l'auteur définit une coloration $\chi : \mathbb{Z}_{\ge 0}^r \to \mathbb{Z}/(r+1)\mathbb{Z}$ par $\chi(a_1, \dots, a_r) \equiv \sum i \cdot a_i \pmod{r+1}$. Un lemme clé montre que tout coin unitaire contient exactement un point de chaque couleur. En supprimant la classe de couleur la plus petite, on obtient un ensemble sans coins, ce qui fournit une densité d'au moins $r/(r+1)$.

• Bornes supérieures (Identités de décalage) :
  Pour la borne supérieure, l'article introduit des opérateurs de décalage arrière et une fonction de comptage $m_A(x)$. Une identité algébrique relie la taille de l'ensemble $A$ à la taille du simplexe et aux points situés sur les faces du simplexe (où un exposant est nul). Cela permet de montrer que la perte par rapport à la densité $r/(r+1)$ est contrôlée par la surface du simplexe, soit d'ordre $O(u^{r-1})$.

• Passage à l'intervalle complet :
  Pour le problème sur $[1, N]$, l'auteur décompose chaque entier $n$ de manière unique sous la forme $n = m \cdot d$, où $d \in M(S)$ et $m$ est premier à $P_S = \prod_{p \in S} p$. Cela permet de décomposer le problème global en une somme de problèmes sur les nombres S-lisses, pondérée par la densité des entiers premiers à $P_S$.

3. Résultats Principaux

A. Asymptotique pour les nombres S-lisses (Théorème 1.1)

Soit $\Psi_S(X)$ le nombre d'entiers S-lisses $\le X$. L'article prouve que la taille maximale $F_S(X)$ d'un sous-ensemble sans configuration interdite vérifie :
$$F_S(X) = \frac{r}{r+1} \Psi_S(X) + O_S((\log X)^{r-1})$$
De manière équivalente, pour les $k$ premiers nombres S-lisses, la fonction extrémale $f_S(k)$ satisfait :
$$f_S(k) = \frac{r}{r+1} k + O_S(k^{(r-1)/r})$$
Cela établit que la densité asymptotique dans le semigroupe multiplicatif est exactement $\frac{r}{r+1}$.

B. Densité sur l'intervalle complet et constante $\alpha_S$ (Corollaire 1.2)

Pour le problème sur $[1, N]$, il existe une constante $\alpha_S$ telle que :
$$G_S(N) = \alpha_S N + O_S((\log N)^r)$$
La constante est donnée par une série convergente impliquant les différences finies de la fonction $f_S$ :
$$\alpha_S = c_S \sum_{k \ge 1} \frac{\Delta f_S(k)}{d_k^{(S)}}$$
où $c_S = \prod_{p \in S} (1 - 1/p)$ et $d_k^{(S)}$ est le $k$-ième nombre S-lisse.

C. Calculabilité et bornes (Corollaire 1.3)

L'article fournit des bornes imbriquées $L_{S,N} \le \alpha_S \le U_{S,N}$ qui convergent vers $\alpha_S$. La largeur de l'intervalle est contrôlée par la « queue réciproque » des nombres S-lisses, pour laquelle une formule de récurrence explicite est dérivée (Proposition 4.2). Cela permet de calculer $\alpha_S$ avec une précision arbitraire.

D. Propriétés structurelles et contre-exemples

• Séries non périodiques (Proposition 1.4) : L'auteur démontre que des sommes réciproques rationnelles sur des dénominateurs S-lisses ne nécessitent pas que la suite des coefficients soit périodique. Il construit une suite binaire non périodique dont la somme pondérée par les nombres S-lisses est rationnelle.
• Cas classique $S=\{2, 3\}$ : L'article récupère la constante de Graham-Spencer-Witsenhausen $\alpha$. Il prouve deux propositions structurelles :
  1. Il n'existe pas de famille imbriquée optimale (c'est-à-dire qu'on ne peut pas construire un ensemble optimal pour $k$ en ajoutant un élément à un ensemble optimal pour $k-1$).
  2. Une condition nécessaire et suffisante pour que l'ajout du $k$-ième nombre lisse augmente la taille de l'ensemble optimal est liée à l'omission d'un point spécifique dans l'ensemble précédent.

4. Signification et Impact

Ce travail apporte plusieurs contributions majeures à la théorie des nombres combinatoire :

1. Généralisation : Il résout le problème de densité extrémales pour un ensemble arbitraire de nombres premiers $S$, généralisant les résultats connus pour $S=\{2\}$ ou $S=\{2,3\}$.
2. Précision asymptotique : Il fournit non seulement la constante principale ($r/(r+1)$), mais aussi le terme d'erreur précis, reliant la géométrie du simplexe aux propriétés arithmétiques.
3. Méthodologie algorithmique : La dérivation de formules de récurrence pour les queues de séries réciproques permet un calcul effectif des constantes de densité, transformant un problème théorique en un problème calculable.
4. Structure des ensembles optimaux : Les résultats sur la non-existence de familles imbriquées optimales et la nature non périodique des sommes rationnelles éclairent la complexité structurelle de ces ensembles, suggérant qu'ils ne suivent pas de motifs simples ou réguliers.

En résumé, l'article établit un pont solide entre la théorie des nombres lisses, la géométrie discrète et la théorie des graphes interdits, offrant des outils puissants pour l'analyse asymptotique et le calcul des densités extrémales.