Existence and regularity of solutions to parabolic-elliptic nonlinear systems

1. Problématique et Contexte

L'article étudie l'existence et la régularité des solutions pour un système couplé d'équations aux dérivées partielles (EDP) de type parabolique-elliptique, défini sur un domaine borné $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ ($N > 2$) et un intervalle de temps $(0, T)$. Le système est donné par :

$$\begin{cases} u_t - \text{div}(A(x, t)\nabla u) = -\text{div}(u M(x)\nabla \psi) + f(x, t) & \text{dans } \Omega_T, \\ -\text{div}(M(x)\nabla \psi) = |u|^\theta & \text{dans } \Omega_T, \\ u = \psi = 0 & \text{sur } \partial\Omega \times (0, T), \\ u(x, 0) = 0 & \text{dans } \Omega. \end{cases}$$

Caractéristiques du modèle :

• Coefficients discontinus : Les matrices $A(x,t)$ et $M(x)$ sont mesurables, bornées ($L^\infty$) et uniformément elliptiques, mais pas nécessairement continues.
• Source singulière : Le terme source $f$ appartient à $L^1(\Omega_T)$, ce qui place le problème dans le cadre des données de faible intégrabilité.
• Couplage non-linéaire : La première équation est parabolique avec un terme de convection non linéaire $-\text{div}(u M(x)\nabla \psi)$. La seconde est elliptique avec un terme source $|u|^\theta$ où $\theta \in (0, 2/N)$.
• Lien avec la chimiotaxie : Ce système est une version à coefficients discontinus et avec source externe du modèle de Keller-Segel (système parabolique-parabolique complet), où la dépendance en $u$ dans la seconde équation est sous-linéaire ($\theta < 1$).

L'objectif principal est d'établir l'existence de solutions et d'analyser leur régularité (sommeabilité) en fonction de la régularité de la donnée $f$, en particulier lorsque $f \in L^1$, cas où les solutions classiques n'existent pas.

2. Méthodologie

L'auteur adopte une approche par approximation combinée à des estimations a priori et des techniques de compacité.

1. Système approché :
   Le problème est régularisé en introduisant une suite de solutions $(u_n, \psi_n)$ satisfaisant un système tronqué :

   • Le terme non linéaire $u$ est remplacé par sa troncature $T_n(u) = \max(-n, \min(u, n))$.
   • La source $f$ est remplacée par $T_n(f)$.
   • L'existence de solutions pour ce système régularisé est prouvée via le théorème du point fixe de Schauder, en définissant un opérateur non linéaire sur un espace fonctionnel approprié ($C^0([0,T]; L^2(\Omega))$).

2. Estimations A Priori :
   Une série d'estimations est établie pour la suite $(u_n, \psi_n)$, dépendant de l'intégrabilité de $f$ (paramétrée par $m$ tel que $f \in L^m$) :

   • Positivité : Preuve que $u_n \ge 0$ et $\psi_n \ge 0$.
   • Sommeabilité $L^1$ : Estimation uniforme de $u_n$ dans $L^\infty(0, T; L^1(\Omega))$.
   • Borne $L^\infty$ pour $\psi_n$ : Utilisation des théorèmes de Stampacchia pour montrer que $\psi_n$ est borné dans $L^\infty(\Omega_T)$ dès que $f \in L^1$.
   • Estimations d'énergie et de régularité : Selon le cas de $m$, l'auteur dérive des bornes dans des espaces de Sobolev paraboliques ($L^2(0,T; H^1_0)$) ou des espaces de régularité plus faible ($W^{1,q}$).

3. Passage à la limite :

   • Pour les données régulières ($m$ élevé), la compacité permet de passer à la limite directement pour obtenir une solution distributionnelle.
   • Pour les données singulières ($m$ faible, notamment $m=1$), la suite $(u_n)$ n'est pas bornée dans un espace d'énergie fini. L'auteur utilise alors la notion de solutions entropie (introduite par Boccardo, Gallouët et Orsina pour les problèmes elliptiques et paraboliques).
   • La convergence presque partout de $(u_n)$ est obtenue via des techniques de troncature lisse et le théorème de compacité d'Aubin-Lions (Corollaire 4 de [14]).

3. Résultats Principaux

Les résultats sont classés selon l'intégrabilité de la donnée $f \in L^m(\Omega_T)$. On définit les exposants critiques paraboliques $p^*$ et $p^{**}$ analogues aux cas elliptiques mais avec $N+2$ au lieu de $N$.

Cas 1 : Données régulières ($m > \frac{N+2}{2}$)

• Théorème 2.1 : Si $f \in L^m$ avec $m > \frac{N+2}{2}$, il existe une solution unique $(u, \psi)$ telle que :
  • $u \in C^0([0,T]; L^2(\Omega)) \cap L^2(0,T; H^1_0(\Omega)) \cap L^\infty(\Omega_T)$.
  • $\psi \in C^0([0,T]; H^1_0(\Omega)) \cap L^\infty(\Omega_T)$.
  • La solution est bornée ($L^\infty$) et satisfait l'équation au sens fort.

Cas 2 : Données intermédiaires ($\frac{2N+4}{N+4} \le m < \frac{N+2}{2}$)

• Théorème 2.2 : La solution $u$ n'est plus nécessairement bornée, mais sa sommeabilité est améliorée par rapport à la donnée $f$.
  • $u \in L^\infty(0,T; L^{\frac{Nm}{N+2-2m}}(\Omega)) \cap L^{m^{**}}(\Omega_T)$.
  • La régularité suit les théorèmes de régularité $L^p$ de Stampacchia et Boccardo-Gallouët adaptés au cas parabolique.
  • La condition initiale est satisfaite au sens faible.

Cas 3 : Données singulières ($\frac{2N+4}{N+6} \le m < \frac{2N+4}{N+4}$)

• Théorème 2.4 : Dans ce régime, le terme de convection $u M(x) \nabla \psi$ n'appartient plus à $L^1$, empêchant la définition d'une solution distributionnelle classique. Cependant, une solution existe avec une régularité de gradient :
  • $u \in L^{m^{**}}(\Omega_T) \cap L^{m^*}(0,T; W^{1,m^*}_0(\Omega))$.
  • La solution satisfait l'équation au sens distributionnel avec des fonctions tests spécifiques.

Cas 4 : Données très singulières ($1 \le m < \frac{2N+4}{N+6}$)

• Théorème 2.6 (Solutions Entropie) : Pour $f \in L^1$, l'existence d'une solution distributionnelle n'est plus garantie. L'auteur prouve l'existence d'une solution entropie $(u, \psi)$.
  • $u$ est une solution entropie pour la première équation (satisfaisant une inégalité variationnelle avec les troncatures $T_k$).
  • $\psi$ est une solution faible pour la seconde équation.
  • Régularité : $u \in L^\infty(0,T; L^1(\Omega)) \cap L^s(\Omega_T) \cap L^q(0,T; W^{1,q}_0(\Omega))$ pour des exposants $s, q$ strictement inférieurs aux exposants critiques $1^{**}$ et $1^*$.

4. Contributions Clés et Signification

1. Extension aux coefficients discontinus : Le travail généralise les résultats connus pour les systèmes Keller-Segel aux cas où les matrices de diffusion sont seulement mesurables et elliptiques, sans régularité supplémentaire.
2. Analyse complète de la régularité : L'article établit une carte complète de la régularité des solutions en fonction de l'intégrabilité de la source $f$, reliant les résultats paraboliques aux théorèmes elliptiques classiques via l'analogie dimensionnelle $N \to N+2$.
3. Traitement des données $L^1$ : La preuve de l'existence de solutions entropie pour des données $L^1$ dans un système couplé parabolique-elliptique est un résultat significatif. Elle démontre que l'interaction entre les deux équations (le terme de couplage) permet d'obtenir une régularité supérieure à celle attendue pour une simple équation parabolique avec un terme de transport singulier.
4. Technique de preuve robuste : L'utilisation combinée de la méthode de point fixe, des estimations de type Stampacchia, et de la théorie des solutions entropie offre un cadre méthodologique robuste pour traiter des systèmes non linéaires avec des données de faible régularité.

En conclusion, cet article fournit une théorie d'existence et de régularité complète pour une classe importante de systèmes paraboliques-elliptiques non linéaires, comblant un vide entre les modèles de chimiotaxie classiques et les équations aux dérivées partielles avec coefficients discontinus et données singulières.