The conformal limit for Nakajima quiver varieties

1. Problématique et Contexte

L'article s'inscrit dans le domaine de la géométrie hyperkählérienne et de la théorie des représentations de quivers. Il vise à généraliser une construction récente, le limite conforme, initialement développée par Gaiotto pour les fibrés de Higgs sur une surface de Riemann compacte.

• Contexte des fibrés de Higgs : Pour un fibré de Higgs stable $(\bar{\partial}_E, \Phi)$, il existe une famille de connexions plates complexes $\nabla_{R, \bar{h}}$ paramétrée par $R > 0$. La conjecture de Gaiotto, prouvée par Collier, Li, et al., stipule que lorsque $R \to 0$, cette famille converge vers une connexion plate spécifique. Cette application, appelée limite conforme, établit un biholomorphisme entre des sous-variétés lagrangiennes holomorphes de l'espace de moduli des fibrés de Higgs ($M_H$) et de l'espace de moduli de de Rham ($M_{dR}$).
• Le problème pour les variétés de quiver : Les variétés de Nakajima sont des exemples fondamentaux de variétés hyperkählériennes, partageant de nombreuses propriétés structurelles avec les espaces de moduli de fibrés de Higgs. Cependant, la construction explicite d'une limite conforme pour ces variétés n'avait pas été réalisée. L'objectif est de définir cette limite pour les variétés de quiver, de prouver son existence, et d'étudier ses propriétés géométriques, notamment son lien avec la conjecture de Simpson sur la complétude des sous-variétés lagrangiennes.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche systématique en s'inspirant de la preuve pour les fibrés de Higgs (notamment l'article [CW19]), en adaptant les outils aux spécificités des variétés de quiver.

A. Construction de l'espace de Hodge-Nakajima

Ils définissent un espace de moduli analogue à l'espace de Hodge pour les fibrés de Higgs, noté $M_{Hod}^{Q}$. Cet espace est l'union de variétés de quiver $M((1-|\xi|^2)\zeta_R, -2i\xi\zeta_R)$ paramétrées par $\xi \in \mathbb{C}$.

• Ils utilisent la structure de lignes de twistor (rotations hyperkählériennes) pour relier les points de l'espace. Pour un point $q \in M(\zeta_R, 0)$, la ligne de twistor est donnée par une transformation explicite impliquant le paramètre $\xi$.
• Ils montrent que cette rotation préserve les conditions de moment complexe tout en modifiant le moment réel de manière contrôlée.

B. L'action $\mathbb{C}^*$ et la stratification de Bia lynicki-Birula

L'article exploite une action naturelle du groupe $\mathbb{C}^*$ sur les variétés de quiver.

• Pour un point fixe $p_0$ sous cette action, ils définissent l'ensemble attracteur $W(p_0)$, qui est la variété de points dont la limite sous l'action $\mathbb{C}^*$ tend vers $p_0$.
• Ils introduisent la tranche de Bia lynicki-Birula (BB), notée $S^+_{p_0}$. C'est une sous-variété de l'espace des représentations du quiver, définie par des conditions de moment complexe non linéaires et des contraintes de stabilité par rapport à l'action $\mathbb{C}^*$.
• Une étape cruciale consiste à montrer que la tranche BB est isomorphe (via une transformation de jauge complexe) à la restriction de l'ensemble attracteur à la fibre $\xi=0$ (l'espace de Hodge $W^0(p_0)$).

C. La construction de la limite conforme

La définition de la limite conforme pour les quivers est plus subtile que pour les fibrés de Higgs car la métrique harmonique dépend du paramètre de limite.

• Ils construisent une famille de points $F_{R, \bar{h}}$ en agissant par $\mathbb{C}^*$ (multiplication par $R$) et en ajustant les termes pour satisfaire les équations de moment.
• Le défi principal est de corriger la violation du moment réel induite par cette transformation. Les auteurs utilisent le théorème de la fonction inverse appliqué à l'équation de moment réel.
• Ils démontrent l'existence d'une transformation de jauge complexe $g_{A, \bar{h}}$ unique qui ramène le point limite dans la variété de quiver réelle, garantissant ainsi la convergence de la famille.

3. Résultats Clés

Théorème Principal (Théorème 1.3 et 5.2)

Les auteurs prouvent que pour un point fixe $p_0$ et un élément $A$ de la tranche BB $S^+_{p_0}$, la limite conforme existe et est donnée par une formule explicite :
$$CL_{\bar{h}}(g_A \cdot (p_0 + A)) = \lim_{R \to 0} F_{R, \bar{h}}(g_A \cdot (p_0 + A))$$
Cette application définit un biholomorphisme entre :

1. $W^0(p_0) = W(p_0) \cap M(\zeta_R, 0)$ : une sous-variété lagrangienne holomorphe de la variété de quiver standard.
2. $W^1(p_0) = W(p_0) \cap M(0, -2i\zeta_R)$ : une sous-variété lagrangienne holomorphe d'une autre variété de quiver (correspondant à la fibre $\xi=1$).

Conjecture de Simpson et Complétude

L'article aborde une analogie de la conjecture de Simpson, qui stipule que les sous-variétés $W^1(p_0)$ sont complètes dans l'espace de de Rham.

• Résultat partiel (Théorème 1.7) : Ils prouvent que si le point $p_0 + A$ n'est pas nilpotent, alors la ligne de limite conforme $CL_{\bar{h}}(p_0 + A)$ sort de tout compact de $M(0, -2i\zeta_R)$ lorsque le paramètre tend vers l'infini (ou zéro selon la paramétrisation).
• Cela implique que $W^1(p_0)$ est une sous-variété complète pour tout point fixe très stable (very stable).
• La preuve repose sur l'analyse des invariants de Lusztig (traces de chemins fermés dans le quiver) qui deviennent non bornés, forçant la trajectoire à s'échapper à l'infini.

4. Contributions Techniques

1. Généralisation de la construction de Gaiotto : Extension réussie de la limite conforme du cadre des fibrés de Higgs (géométrie complexe infinie) aux variétés de Nakajima (géométrie algébrique de dimension finie mais structure riche).
2. Définition de la tranche BB pour les quivers : Construction rigoureuse de la tranche de Bia lynicki-Birula dans le contexte des quotients de moment hyperkählériens, en utilisant la théorie de la déformation et les complexes de Kuranishi adaptés.
3. Estimations quantitatives : Utilisation d'analyses asymptotiques fines (développements en puissances de $R$) pour contrôler les termes d'erreur lors de l'application du théorème de la fonction inverse, garantissant la convergence de la limite.
4. Lien avec la complétude : Fourniture d'une preuve partielle de la conjecture de Simpson pour les variétés de quiver, reliant la géométrie des sous-variétés lagrangiennes aux invariants algébriques du quiver.

5. Signification et Impact

Ce travail est significatif pour plusieurs raisons :

• Unification conceptuelle : Il renforce le lien profond entre la théorie des fibrés de Higgs et la théorie des représentations de quivers, suggérant que les phénomènes géométriques observés dans un cadre (comme la limite conforme) sont universels pour les variétés hyperkählériennes admettant une action $\mathbb{C}^*$ compatible.
• Nouveaux outils pour la géométrie algébrique : La méthode développée pour construire la limite conforme et prouver la complétude offre un nouveau cadre pour étudier la géométrie des espaces de modules de quivers, en particulier leur comportement à l'infini.
• Perspectives futures : La preuve partielle de la conjecture de Simpson ouvre la voie à une compréhension plus complète de la structure globale des variétés de quiver et de leurs relations avec les systèmes intégrables et la théorie de jauge.

En résumé, cet article établit une théorie robuste de la limite conforme pour les variétés de Nakajima, prouvant l'existence de biholomorphismes naturels entre des strates lagrangiennes et apportant des résultats substantiels sur la géométrie globale de ces espaces.