Minimal $a$-numbers of Artin--Schreier covers of ordinary curves

1. Contexte et Problématique

L'article s'inscrit dans la géométrie arithmétique des courbes en caractéristique $p > 0$. Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $p$. L'objet central d'étude est le nombre $a$ d'une courbe lisse projective $Z$, noté $a_Z$. Ce nombre est défini comme la dimension du noyau de l'opérateur de Cartier $C$ agissant sur l'espace des formes différentielles régulières $H^0(Z, \Omega^1_Z)$.

• $a_Z = \dim_k \ker(C)$.
• Il mesure la complexité du sous-groupe de $p$-torsion du jacobien $J_Z[p]$.
• $0 \le a_Z \le g_Z$ (genre de la courbe). $a_Z = 0$ correspond aux courbes ordinaires, tandis que $a_Z = g_Z$ correspond aux courbes supersingulières.

Le problème traité concerne les revêtements d'Artin-Schreier d'une courbe $X = \mathbb{P}^1$ (ou plus généralement d'une courbe ordinaire). Un tel revêtement est défini par l'équation :
$$Y : y^p - y = f(x)$$
où $f(x)$ est un polynôme de degré $d$ (avec $p \nmid d$). Le genre de $Y$ est $g_Y = \frac{(p-1)(d-1)}{2}$.

Des travaux antérieurs, notamment ceux de Booher et Cais ([BC20]), ont établi des bornes inférieures et supérieures pour le nombre $a$ de telles courbes $Y$. Lorsque $p=2$, ces bornes coïncident. Pour $p > 2$, la question ouverte était de savoir si la borne inférieure de Booher-Cais était atteignable (c'est-à-dire si elle est optimale) pour tout $p$ et tout degré $d$.

2. Méthodologie

Les auteurs adoptent une approche combinatoire et algébrique basée sur l'analyse fine de l'action de l'opérateur de Cartier sur une base spécifique de l'espace des formes différentielles.

A. Filtration de l'espace des formes différentielles

Les auteurs définissent une filtration de l'espace $H = H^0(Y, \Omega^1_Y)$ basée sur les puissances de $y$ dans une base explicite.

• Une base de $H$ est constituée des différentielles $\omega_{i,j} = y^{j-1} x^{i-1} dx$ pour $0 < j < p$ et $0 < i < \frac{(p-j)d}{p}$.
• Ils introduisent des sous-espaces $H_{\le J}$ engendrés par les $\omega_{i,j}$ avec $j \le J$.
• Ils définissent également des sous-espaces "de rang" $H(\ell, e)$ qui capturent le comportement de l'image de l'opérateur de Cartier.

B. Analyse de l'opérateur de Cartier

L'objectif est de calculer la dimension du noyau de $C$. Pour cela, ils étudient la restriction de $C$ aux sous-espaces $H_{\le J}$.

• Ils démontrent que pour des coefficients génériques du polynôme $f$, l'opérateur $C$ induit des applications surjectives ou injectives entre des quotients de ces sous-espaces.
• La stratégie repose sur la preuve que, pour un ouvert de Zariski non vide $U$ de l'espace des coefficients de $f$, certaines applications linéaires $\Phi_J$ sont de rang maximal.

C. Preuve par déterminants et ordre monomial

Pour établir le rang maximal générique, les auteurs :

1. Représentent les applications $\Phi_J$ par des matrices $M$ dont les entrées sont des polynômes dans les coefficients $a_0, \dots, a_d$ du polynôme $f$.
2. Construisent un mineur carré maximal $N$ de cette matrice.
3. Utilisent un ordre monomial sur l'anneau des coefficients $S = k[a_0, \dots, a_d]$.
4. Démontrent que le déterminant de $N$ est non nul en prouvant qu'il possède un monôme dominant unique qui ne peut être annulé par les autres termes du développement du déterminant. Cela repose sur une construction algorithmique ("greedy algorithm") d'une bijection spécifique entre les indices des lignes et des colonnes.

3. Résultats Principaux

A. Formule du nombre $a$ minimal

Les auteurs définissent un entier $L(d)$ donné par la formule :
$$L(d) := \sum_{\ell=1}^{(p-1)/2} \left\lfloor \frac{(p-\ell)d}{p} \right\rfloor - \left\lfloor \frac{(p^2 + 1 - 2\ell p)d}{2p^2} \right\rfloor$$
Théorème 1.3 : Il existe un ouvert de Zariski non vide $U$ de l'espace des polynômes de degré $d$ tel que pour tout $f \in U(k)$, le nombre $a$ de la courbe $Y$ définie par $y^p - y = f(x)$ est exactement $L(d)$.

Cela prouve que la borne inférieure de Booher-Cais est serrée (tight) pour tout $p$ et tout $d$.

B. Généralisation aux courbes ordinaires

Corollaire 1.4 : Soit $X$ une courbe ordinaire ($a_X = 0$) sur un corps algébriquement clos. Pour tout ensemble de points de ramification $P_1, \dots, P_B$ et d'invariants de ramification $d_1, \dots, d_B$ (premiers à $p$), il existe un revêtement d'Artin-Schreier ramifié exactement en ces points avec ces invariants tel que le nombre $a_Y$ du revêtement soit minimal :
$$a_Y = \sum_{b=1}^B L(d_b)$$

4. Contributions Clés

1. Optimalité de la borne : Résolution définitive de la question de l'optimalité de la borne inférieure de Booher-Cais pour tous les caractéristiques $p$ et degrés $d$.
2. Construction explicite : Fourniture d'une condition générique (ouvert de Zariski) assurant l'atteinte du minimum, plutôt qu'un exemple isolé.
3. Technique de preuve innovante : L'utilisation d'un ordre monomial pour prouver la non-nullité d'un déterminant de matrices dont les entrées sont des coefficients de puissances de polynômes génériques. Cette méthode permet de contourner la complexité des calculs directs en caractéristique $p$.
4. Structure fine du noyau : La preuve fournit une description détaillée de la structure du noyau de l'opérateur de Cartier via la filtration $H_{\le J}$, montrant que pour $J \ge (p-1)/2$, le noyau se stabilise.

5. Signification et Impact

Ce travail est fondamental pour la compréhension de la géométrie des courbes en caractéristique $p$ :

• Il complète la classification des types de $p$-torsion (types d'Ekedahl-Oort) pour les revêtements d'Artin-Schreier.
• Il montre que les courbes avec un nombre $a$ minimal (c'est-à-dire les plus "ordinaires" possible compte tenu de leurs invariants de ramification) sont génériques dans l'espace des paramètres.
• Les résultats ont des implications pour l'étude des groupes de $p$-torsion des jacobiennes et la théorie de Dieudonné.
• La méthode développée (analyse de déterminants via l'ordre monomial) pourrait être appliquée à d'autres problèmes de rang générique en géométrie algébrique modulaire.

En résumé, Cais et Ulmer démontrent que la borne théorique inférieure pour le nombre $a$ des revêtements d'Artin-Schreier n'est pas seulement une limite, mais une valeur atteignable par une famille générique de courbes, confirmant ainsi la rigidité et la richesse de la structure de ces objets en caractéristique positive.