Representability of codimension three cycles

Titre : Représentabilité des cycles de codimension trois

Auteur : Kalyan Banerjee
Contexte : Géométrie algébrique complexe, théorie des groupes de Chow.

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1. Problématique et Contexte

La question centrale de cet article porte sur la représentabilité des groupes de Chow algébriquement triviaux, notés $A^p(X)$ (ou $CH^p(X)_{alg}$), pour une variété projective lisse $X$ sur $\mathbb{C}$.

• Définition classique (Représentabilité forte) : Un groupe $A^p(X)$ est dit représentable s'il existe une courbe lisse projective $C$ et une correspondance $\Gamma$ sur $C \times X$ telle que l'application induite $\Gamma^*: J(C) \to A^p(X)$ soit surjective.
• Résultats connus :
  • Mumford a démontré que pour une surface $S$ de genre géométrique $p_g > 0$, le groupe $A^2(S)$ n'est pas représentable.
  • Roitman a généralisé ce résultat : si $X$ possède une forme holomorphe globale non nulle, $A^n(X)$ n'est pas représentable.
  • La conjecture de Bloch (pour les surfaces de genre géométrique nul) suggère que $A^2(S)$ est représentable, ce qui est partiellement résolu.

Le problème spécifique de cet article :
L'auteur s'intéresse aux cycles de codimension trois ($p=3$) sur une quadruple (variété de dimension 4) lisse et projective $X$. Il cherche à définir et à établir des conditions de représentabilité pour $A^3(X)$, en particulier en introduisant une notion plus faible : la représentabilité jusqu'à la dimension deux.

2. Méthodologie et Concepts Clés

L'approche de l'article repose sur l'analyse des propriétés de « dimension finie » des groupes de Chow via les variétés de Chow et les arguments de Roitman-Voisin.

A. Représentabilité faible jusqu'à la dimension deux

L'auteur définit $A^p(X)$ comme étant faiblement représentable jusqu'à la dimension deux s'il existe un nombre fini de courbes $C_i$ et de surfaces $S_j$, munies de correspondances $\Gamma_i$ et $\Gamma'_j$, tels que l'application somme :
$$\bigoplus_i A^1(C_i) \oplus \bigoplus_j A^2(S_j) \xrightarrow{\sum \Gamma + \sum \Gamma'} A^p(X)$$
soit surjective. Ici, $A^1(C)$ correspond aux cycles de degré zéro sur une courbe (liés à la jacobienne) et $A^2(S)$ aux cycles de codimension 2 sur une surface.

B. Dimension finie et Variétés de Chow

L'article introduit une notion équivalente basée sur les variétés de Chow $C^p_d(X)$ (paramétrant les cycles de codimension $p$ et de degré $d$).
Soit $\theta^p_d : C^p_d(X) \times C^p_d(X) \to A^p(X)$ l'application définie par $(Z_1, Z_2) \mapsto [Z_1 - Z_2]$.

• Définition : $A^p(X)$ est de dimension finie jusqu'à la dimension deux s'il existe un entier $g > 1$ tel que l'image de la réunion des applications $\theta^p_{gd}$ (pour $d$ variant) soit égale à $A^p(X)$.
• L'idée est que si l'image de ces produits de variétés de Chow (spécifiquement liés à des sections hyperplanes de haute dimension) couvre le groupe, alors le groupe est « contrôlé » par des objets de dimension inférieure (courbes et surfaces).

C. Invariance birationnelle

Un point crucial de la démonstration est l'établissement du fait que la représentabilité de $A^3(X)$ jusqu'à la dimension deux est un invariant birationnel pour les quadruples lisses.

• L'auteur utilise la formule de désingularisation par éclatement (blow-up). Si $\tilde{X}$ est un éclatement de $X$ le long d'une surface ou d'une courbe, le groupe $A^3(\tilde{X})$ se décompose en $A^3(X) \oplus A^2(S)$ ou $A^3(X) \oplus A^1(C)$.
• Puisque $A^2(S)$ et $A^1(C)$ sont par définition représentables jusqu'à la dimension deux, la propriété se conserve lors des transformations birationnelles. Cela permet d'utiliser des modèles birationnels (comme des éclatements de $\mathbb{P}^4$) pour étudier la rationalité.

3. Résultats Principaux

Théorème 1.2 (Représentabilité via les sous-espaces linéaires)

Sous les hypothèses suivantes :

1. Le groupe de Chow $A^p(X)$ est engendré par des sous-espaces linéaires (c'est-à-dire que l'application d'Abel-Jacobi depuis la variété de Fano $F(X)$ des sous-espaces linéaires de codimension $p$ est surjective).
2. $A^p(X)$ est de dimension finie jusqu'à la dimension deux (au sens des variétés de Chow).

Conclusion : Il existe une surface lisse projective $S$ (obtenue comme section hyperplane de la variété de Fano $F(X)$) et une correspondance $\Gamma$ sur $S \times X$ telle que l'application $\Gamma^*: A^2(S) \to A^p(X)$ soit surjective.

Théorème 2.7 (Équivalence pour les quadruples)

Pour une quadruple lisse projective $X$ où l'équivalence algébrique et l'équivalence homologique coïncident pour les cycles de codimension 3 :
$A^3(X)$ est représentable jusqu'à la dimension deux si et seulement si elle est de dimension finie jusqu'à la dimension deux.

Application aux Quadriques Fano

L'article applique ces résultats aux variétés de Fano lisses de dimension 4 ($X$).

• Si $A^3(X)$ est engendrée par des différences de courbes rationnelles (résultat de [TZ]), alors $A^3(X)$ est représentable jusqu'à la dimension deux.
• Cela fournit un critère pour tester la rationalité : si $X$ est une quadruple unirrationnelle, $A^3(X)$ doit être représentable jusqu'à la dimension deux. Si l'on peut montrer qu'elle ne l'est pas, alors $X$ n'est pas rationnelle.

4. Preuves et Arguments Techniques

La démonstration repose sur une analyse fine des fibres des applications $\theta^p_d$ :

1. Argument de Roitman-Voisin : Les fibres de l'application du produit de deux variétés de Chow vers le groupe de Chow sont des réunions dénombrables de sous-ensembles fermés de Zariski.
2. Argument de Baire : Sur un corps non dénombrable (comme $\mathbb{C}$), une variété irréductible ne peut pas être une réunion dénombrable de ses sous-variétés propres. Cela permet de trouver des composantes irréductibles dominantes.
3. Lemme 2.8 (Intersection avec les sections hyperplanes) : L'auteur prouve qu'une sous-variété irréductible $Z$ de grande dimension dans un produit symétrique d'une variété de Fano $F(X)$, qui n'est pas contenue dans un « sous-espace dégénéré », intersecte nécessairement une section hyperplane ample $Y$.
   • Cela permet de réduire progressivement la dimension de l'espace de paramétrage : de la variété de Fano $F(X)$ (dimension $n$) à une surface $S$ (section par $n-1$ hypersurfaces).
   • Cela établit que l'image de $A^0(S)$ dans $A^3(X)$ est suffisante pour couvrir le groupe.

5. Signification et Impact

• Nouvelle notion de représentabilité : L'article formalise la notion de « représentabilité jusqu'à la dimension deux », qui est plus faible que la représentabilité classique (par une courbe) mais plus forte que l'absence totale de structure. Elle est adaptée aux cycles de codimension intermédiaire sur des variétés de dimension supérieure.
• Outil pour la rationalité : En établissant que la représentabilité jusqu'à la dimension deux est un invariant birationnel, l'auteur fournit un nouvel outil pour distinguer les variétés unirationnelles des variétés rationnelles. Si une variété unirrationnelle possède un groupe $A^3(X)$ qui n'est pas représentable de cette manière, elle ne peut pas être rationnelle.
• Lien avec la géométrie de Fano : Le résultat montre que pour les variétés de Fano, la structure des cycles de codimension 3 est contrôlée par la géométrie de leurs sous-variétés linéaires (variété de Fano) et plus spécifiquement par des surfaces contenues dans celle-ci.

En résumé, cet article étend la théorie de la représentabilité des cycles de Chow au-delà des cycles de dimension zéro et des surfaces, en fournissant un cadre technique robuste pour l'étude des cycles de codimension trois sur les quadruples, avec des applications potentielles à la classification des variétés rationnelles.