A mathematical study of an elastic-viscous-plastic sea-ice model with the Kelvin-Voigt rheology

1. Énoncé du problème et motivation

L'article aborde l'analyse mathématique du modèle de glace de mer Élastique-Visco-Plastique (EVP), une régularisation numérique largement utilisée du modèle classique visco-plastique de Hibler. Bien que le modèle EVP soit efficace sur le plan computationnel pour les simulations climatiques, son bien-posé mathématique rigoureux (existence, unicité et dépendance continue par rapport aux données initiales) reste difficile, en particulier en présence de termes d'advection non linéaires et sans coupures artificielles sur les coefficients de viscosité.

Défis clés :

• Rhéologie non newtonienne : La glace de mer est modélisée comme un fluide non newtonien avec des relations contrainte-déformation complexes impliquant la plasticité.
• Terme d'advection : L'inclusion du terme d'advection non linéaire ($u \cdot \nabla u$) dans l'équilibre de la quantité de mouvement complique les estimations d'énergie et les preuves d'existence globale.
• Coupure de viscosité : Les modèles standards nécessitent souvent une « coupure » (paramètre de régularisation $\epsilon$) sur le taux de déformation pour éviter les singularités. Supprimer cette coupure (en passant à la limite $\epsilon \to 0$) est un problème majeur ouvert pour les modèles multidimensionnels.
• Limitations précédentes : Dans un travail antérieur des auteurs (arXiv:2505.03080), ils ont prouvé le bien-posé pour un modèle régularisé de Voigt où la régularisation était appliquée à la relation constitutive (évolution du tenseur des contraintes). Cependant, cette approche nécessitait une régularité élevée des données initiales et ne pouvait pas gérer le terme d'advection lors de la suppression de la coupure de viscosité.

Objectif :
Les auteurs proposent une nouvelle formulation où la régularisation de Kelvin-Voigt est appliquée directement à l'équilibre de la quantité de mouvement (champ de vitesse) plutôt qu'à l'évolution du tenseur des contraintes. Ils visent à prouver :

1. Le bien-posé local pour le modèle avec le terme d'advection.
2. Le bien-posé global pour le modèle sans le terme d'advection.
3. La capacité de supprimer la coupure de viscosité ($\epsilon \to 0$) dans les deux cas.
4. L'existence de solutions pour des données initiales moins régulières par rapport aux études précédentes.

2. Formulation mathématique

L'étude considère le modèle EVP sur un tore plat 2D $\mathbb{T}^2$. Le système est composé d'une équation de quantité de mouvement et d'une équation d'évolution pour le tenseur des contraintes $\sigma$.

Le système régularisé (Kelvin-Voigt dans la quantité de mouvement) :
Les auteurs introduisent un paramètre de régularisation $\alpha > 0$ et modifient l'équation de quantité de mouvement (1.6a/1.7a) pour inclure un terme $-\alpha^2 \partial_t \Delta u$ :
$$\partial_t(u - \alpha^2 \Delta u) + (u \cdot \nabla)u = \nabla \cdot \sigma + \text{termes de forçage}$$
$$\frac{1}{E} \partial_t \sigma + \text{termes de contraintes non linéaires} = D(u)$$
où $D(u)$ est le tenseur du taux de déformation.

Régularisation du taux de déformation :
Pour gérer la singularité dans la relation contrainte-déformation, le module du taux de déformation $D = |D(u)|$ est régularisé en $D_\epsilon = \sqrt{|D(u)|^2 + \epsilon^2}$. Les preuves consistent à construire des solutions pour $\epsilon > 0$ puis à passer à la limite $\epsilon \to 0$.

3. Méthodologie

La stratégie de preuve repose sur une approximation multi-étapes et un argument de compacité :

1. Double régularisation :

   • Taux de déformation : Utilisation de $D_\epsilon$ pour lisser la non-linéarité.
   • Quantité de mouvement : Introduction d'un terme de régularisation d'ordre supérieur $\beta^4 \partial_t \Delta^2 u$ (avec $\beta > 0$) dans l'équilibre de la quantité de mouvement pour assurer une régularité suffisante pour le schéma d'approximation de Galerkin.
   • Données initiales : Lissage des données initiales $(u_0, \sigma_0)$ à l'aide d'un mollifieur standard $\phi_\delta$.

2. Approximation de Galerkin :

   • Construction de solutions approchées de dimension finie $(u_N, \sigma_N)$ en utilisant des modes de Fourier.
   • Preuve de l'existence locale pour ces systèmes d'EDOs en utilisant le théorème de Picard-Lindelöf.

3. Estimations a priori :

   • Estimation $L^\infty$ pour les contraintes (Étape cruciale) : Les auteurs déduisent une nouvelle borne $L^\infty$ pour le tenseur des contraintes $\sigma$ (Lemme 2.3). En introduisant une variable transformée $\tau = \sigma + \frac{P}{2}I_2$ et en exploitant la structure d'amortissement de l'équation d'évolution des contraintes, ils prouvent :
     $$\|\sigma(\cdot, t)\|_{L^\infty} \leq \|\sigma_0\|_{L^\infty} + 2P$$
     Cette borne est indépendante des paramètres de régularisation et essentielle pour fermer les estimations d'ordre supérieur.
   • Estimations d'énergie : Dérivation d'estimations $H^1$ et $H^2$ pour la vitesse et d'estimations $H^1$ pour les contraintes. La borne $L^\infty$ sur $\sigma$ permet de contrôler les termes non linéaires impliquant le tenseur des contraintes.

4. Passage à la limite :

   • Étape 1 : Faire tendre $\beta, \delta \to 0$ pour retrouver la solution du système avec $D_\epsilon$ mais sans la régularisation artificielle $\beta$.
   • Étape 2 : Faire tendre $\epsilon \to 0$ pour supprimer la coupure du taux de déformation.
   • Compacité : Utilisation du théorème de Banach-Alaoglu (pour la convergence faible-* ) et du lemme d'Aubin-Lions (pour la convergence forte) pour extraire des sous-suites convergentes.

5. Unicité et dépendance continue :

   • Établissement de l'unicité en analysant la différence entre deux solutions et en appliquant l'inégalité de Grönwall, en utilisant la borne $L^\infty$ sur le tenseur des contraintes.

4. Contributions et résultats clés

Théorème 1.1 (Bien-posé local avec advection) :

• Résultat : Prouve l'existence d'une solution forte unique locale en temps pour le modèle EVP de Kelvin-Voigt advectif.
• Régularité : $u \in C([0, T]; H^2)$ et $\sigma \in C([0, T]; H^1) \cap C([0, T]; L^\infty)$.
• Signification : Il s'agit du premier résultat rigoureux pour le modèle EVP multidimensionnel avec advection où la coupure de viscosité est supprimée ($\epsilon \to 0$). Les estimations précédentes échouaient à gérer le terme d'advection dans la limite.

Théorème 1.2 (Bien-posé global sans advection) :

• Résultat : Prouve l'existence d'une solution forte unique globale en temps pour le modèle EVP de Kelvin-Voigt lorsque le terme d'advection est omis.
• Signification : L'existence globale vaut pour des données initiales avec une régularité inférieure à celle requise dans le travail antérieur des auteurs (où la régularisation portait sur le tenseur des contraintes). Plus précisément, la vitesse est régularisée, permettant des données initiales $H^2$ plutôt que de nécessiter une régularité plus élevée.

Gestion de la coupure de viscosité :

• L'article justifie avec succès la limite $\epsilon \to 0$ (suppression de la coupure artificielle sur les coefficients de viscosité) en présence d'advection (Théorème 1.1), un problème qui reste ouvert pour le modèle Hibler standard.

Interprétation physique :

• La régularisation de Kelvin-Voigt dans l'équilibre de la quantité de mouvement est jugée physiquement plus intuitive que la régularisation de la relation constitutive, car elle modélise directement le comportement élastique-visqueux de la glace dans l'équilibre des forces.

5. Signification et impact

• Rigueur mathématique : L'article fournit la première théorie de bien-posé rigoureuse pour le modèle EVP avec advection et sans coupures de viscosité en plusieurs dimensions.
• Résolution de problèmes ouverts : Il résout un problème majeur ouvert concernant la limite $\epsilon \to 0$ en présence d'advection, qui était auparavant intraitable pour les modèles Hibler et Voigt-EVP.
• Exigences de régularité améliorées : En déplaçant la régularisation vers l'équation de quantité de mouvement, les auteurs abaissent la régularité requise des données initiales, rendant le modèle applicable à une plus large classe de scénarios physiques.
• Nouveaux outils analytiques : La dérivation de l'estimation $L^\infty$ pour le tenseur des contraintes (Lemme 2.3) est une contribution technique novatrice qui permet de fermer les estimations d'énergie en présence de fortes non-linéarités.
• Modélisation climatique : Ces résultats fournissent une fondation mathématique solide pour les schémas numériques utilisés dans les simulations climatiques à grande échelle, garantissant que les modèles sont mathématiquement sains et stables dans des conditions réalistes.

En résumé, ce travail fait progresser la théorie mathématique de la dynamique de la glace de mer en établissant des résultats de bien-posé robustes pour une régularisation physiquement motivée du modèle EVP, surmontant des obstacles analytiques significatifs liés à la non-linéarité, à l'advection et aux limites de viscosité singulières.