Locally rigid implies globally rigid in Kahler geometry

1. Énoncé du problème et contexte

L'article aborde une question fondamentale en géométrie complexe concernant la rigidité des variétés kählériennes compactes sous déformation.

• Définitions :
  • Rigidité locale : Une variété $X$ est localement rigide si toute famille lisse $\pi: \mathcal{X} \to B$ contenant $X$ comme fibre est localement triviale près de cette fibre (c'est-à-dire que toutes les fibres voisines sont isomorphes à $X$).
  • Rigidité globale : Une variété $X$ est globalement rigide si toute variété $X'$ équivalente par déformation à $X$ est en fait isomorphe à $X$.
  • Équivalence par déformation : Deux variétés sont équivalentes par déformation si elles peuvent être reliées par une suite finie de déformations directes (familles lisses sur un disque).
• La question centrale : La rigidité locale implique-t-elle la rigidité globale pour les variétés kählériennes compactes non déployées ?
  • Il est établi que la rigidité infinitésimale ($H^1(X, T_X)=0$) implique la rigidité locale (théorie de Kodaira-Spencer-Kuranishi).
  • Pour les surfaces minimales de type général, la rigidité locale implique la rigidité globale (prouvé par les auteurs dans [1]).
  • Question 1.1 : Si $X$ est une variété kählérienne compacte non déployée et localement rigide, est-elle globalement rigide ?

2. Méthodologie

L'auteur utilise une combinaison de Variations de Structures de Hodge (VHS), d'Espaces de cycles de Barlet et de la Théorie des modules pour combler le fossé entre les propriétés locales et globales.

A. Construction d'une famille polarisée

Le défi technique central consiste à étendre un isomorphisme local à toute la famille. L'auteur construit une classe de cohomologie spécifique pour « polariser » la famille.

1. Trivialité locale : Étant donné une famille $\pi: \mathcal{X} \to \Delta$ où les fibres sont kählériennes et localement triviales près de $t_1$, l'auteur utilise le difféomorphisme $T: \mathcal{X} \cong X_{t_1} \times \Delta$ pour transporter les classes de cohomologie.
2. Filtration de Hodge : En utilisant le fait que la famille est localement triviale près de $t_1$, l'application de Kodaira-Spencer s'annule localement. Grâce aux propriétés de l'application de période (application holomorphe vers une grassmannienne), la filtration de Hodge $F^p$ est montrée comme étant constante sur tout le disque $\Delta$.
3. Construction d'une classe globale (Lemme 3.1) : L'auteur construit une classe de cohomologie réelle globale $\alpha \in H^2(\mathcal{X}, \mathbb{R})$ telle que sa restriction $\alpha_t$ appartienne à $H^{1,1}(X_t, \mathbb{C})$ pour tout $t$.
4. Construction d'un morphisme kählérien (Lemmes 3.2 et 3.3) : En utilisant le théorème de Demailly-Păun et des arguments de cohomologie des faisceaux, l'auteur relève $\alpha$ en une section $\Theta$ d'un faisceau quotient, permettant la construction d'une forme kählérienne relative. Cela établit que la famille est un morphisme kählérien (spécifiquement, une famille de variétés kählériennes polarisées) sur un ouvert dense.

B. Argument sur l'espace des modules

La preuve repose fortement sur les propriétés de l'espace des modules grossier $\mathcal{M}$ des variétés kählériennes polarisées non déployées.

• Propriété de Hausdorff : L'espace des modules $\mathcal{M}$ pour les variétés kählériennes polarisées non déployées est connu pour être un espace complexe séparé (de Hausdorff).
• Continuité analytique : La famille induit une application holomorphe $f: W \to \mathcal{M}$ depuis un sous-ensemble ouvert dense $W \subset \Delta$.
• Constance : Puisque la famille est localement triviale près de $t_1$, l'application $f$ est constante sur un voisinage. Comme $\mathcal{M}$ est de Hausdorff et que l'application est holomorphe, si l'image est un point sur un ouvert, l'application doit être constante sur la composante connexe (ou sur tout le domaine si le domaine est irréductible/connecté).

C. Traitement de la condition « non déployée »

La condition selon laquelle la fibre $X_{t_1}$ est non déployée est cruciale.

• Les variétés déployées (celles qui sont recouvertes par des courbes rationnelles) ont souvent des espaces de modules non séparés ou permettent des phénomènes de « saut » dans les déformations.
• Pour les variétés non déployées, l'espace des modules est bien comporté (séparé). L'auteur cite [8, Proposition 11] pour garantir que si la fibre centrale est non déployée, les fibres voisines restent non déployées, permettant ainsi de définir globalement l'application vers l'espace des modules.

3. Résultats clés et théorèmes

Théorème 1.3 (Théorème principal) :
Soit $\pi: \mathcal{X} \to \Delta$ un morphisme propre et lisse à fibres kählériennes. Si la famille est localement triviale en un point $t_1$ (c'est-à-dire $X_t \cong X_{t_1}$ pour $t$ proche de $t_1$) et que la fibre $X_{t_1}$ est une variété kählérienne non déployée, alors toutes les fibres sont isomorphes ($X_t \cong X_{t_1}$ pour tout $t \in \Delta$).

Corollaire 1.4 :
Une variété kählérienne compacte non déployée est globalement rigide si elle est localement rigide.

• Logique de la preuve : Si $X$ est localement rigide, toute variété $X'$ équivalente par déformation peut être reliée par une chaîne de familles. L'application du Théorème 1.3 à chaque famille de la chaîne prouve que chaque fibre intermédiaire est isomorphe à la précédente, donc $X \cong X'$.

Corollaire 1.5 :
Spécifique aux surfaces : Une surface kählérienne compacte non déployée est globalement rigide si elle est localement rigide.

Corollaire 1.7 (Non-déformabilité globale) :
Si une famille lisse de variétés kählériennes compactes a des fibres $X_t \cong S$ pour tout $t \in \Delta^* = \Delta \setminus \{0\}$, et que $S$ est une variété kählérienne non déployée, alors la fibre centrale $X_0$ est également biholomorphe à $S$.

• Cela résout le problème de la « non-déformabilité globale » pour les variétés non déployées sous les morphismes kählériens.

4. Importance et contribution

1. Résolution d'une conjecture : L'article répond positivement à la Question 1.1, établissant que pour la large classe des variétés kählériennes non déployées, la rigidité locale suffit à garantir la rigidité globale. Cela étend les résultats précédents connus uniquement pour les surfaces minimales de type général.
2. Application de l'espace des modules : Le travail démontre la puissance de la propriété de Hausdorff de l'espace des modules des variétés polarisées non déployées pour résoudre les problèmes de déformation. Il utilise efficacement la séparation de l'espace des modules pour empêcher les « sauts » de classes d'isomorphisme dans une famille.
3. Innovation technique : La construction d'une classe globale $\alpha$ qui reste une classe kählérienne sur un ouvert dense (et s'étend à toute la famille via la condition non déployée) est une application sophistiquée du théorème de Demailly-Păun et des espaces de cycles de Barlet.
4. Implications pour la non-déformabilité globale : Les résultats fournissent des réponses affirmatives solides au problème de la non-déformabilité globale pour les variétés non déployées, complétant les résultats existants pour les espaces projectifs et les espaces homogènes rationnels (qui sont souvent déployés ou possèdent des structures spécifiques).

Résumé

Mu-Lin Li prouve que dans le domaine de la géométrie kählérienne, si une variété compacte non déployée ne peut pas être déformée localement, elle ne peut pas être déformée globalement du tout. La preuve repose sur la construction d'une polarisation globale pour la famille et l'utilisation de la nature séparée de l'espace des modules correspondant pour montrer qu'une application de déformation localement constante doit être globalement constante.