A torsion-intersection proof of perfect-cuboid nonexistence on 1,072 explicit master-tuple fibers

1. Énoncé du problème

L'article traite de la conjecture du pavé parfait (Conjecture B), un problème ouvert de longue date en théorie des nombres élémentaires.

• Définition : Un brique d'Euler est un parallélépipède rectangle dont les arêtes $(X, Y, Z)$ et les diagonales des faces sont des entiers. Un pavé parfait est une brique d'Euler qui possède en outre une diagonale de l'espace entière ($\sqrt{X^2+Y^2+Z^2} \in \mathbb{N}$).
• La conjecture : Aucun pavé parfait n'existe dans $\mathbb{N}^3$.
• État actuel : Bien que des recherches computationnelles aient écarté l'existence de pavés parfaits dont les arêtes sont inférieures à $5 \cdot 10^{11}$, aucune preuve générale n'existe. Les approches algébro-géométriques précédentes se sont limitées à des sous-familles spécifiques ou ont reposé sur des hypothèses non prouvées (par exemple, l'hypothèse de Riemann généralisée).

2. Méthodologie

L'auteur emploie une combinaison de théorie des nombres structurelle, de géométrie algébrique et de vérification computationnelle rigoureuse. L'approche se déroule en trois étapes principales :

A. Réduction structurelle aux tuples maîtres

L'article établit un théorème de classification structurelle (Théorème 2.4) prouvant que toute brique d'Euler primitive provient d'un « tuple maître » unique $(a, b, m, n) \in \mathbb{N}^4$ satisfaisant des conditions spécifiques de coprimalité et de parité.

• Les arêtes de la brique sont dérivées de paramétrisations pythagoriciennes standards : $U_1 = a^2-b^2, V_1=2ab$ et $U_2=m^2-n^2, V_2=2mn$.
• La condition pour un pavé parfait se réduit à vérifier si un polynôme spécifique $f_1$ (représentant le carré de la diagonale de l'espace) est un carré parfait.
• Cela réduit l'espace de recherche infini à l'analyse de fibres spécifiques définies par les paramètres $(m, n)$.

B. Décomposition de courbes de genre 3

Pour une fibre de tuple maître $(m, n)$ fixée, la condition d'existence d'un pavé parfait est encodée dans une courbe hyperelliptique de genre 3 $H_{m,n}$.

• La courbe est définie par $v^2 = P(t^2)Q(t^2)$, où $t = a/b$.
• Le jacobien de cette courbe, $\text{Jac}(H_{m,n})$, se décompose (à isogénie près) en un produit de trois courbes elliptiques : $E_{PQ}$, $E_{uV}$ et $E_3$.
• L'article se concentre sur les quotients elliptiques $E_{uV}$ et $E_3$.

C. L'argument par torsion-intersection

Le mécanisme central de la preuve repose sur le Lemme de torsion-intersection (Lemme 4.2).

• Prémisse : Si un quotient elliptique $E_q$ a un rang 0 (c'est-à-dire que ses points rationnels sont finis et consistent uniquement en points de torsion), alors le nombre de points rationnels sur la courbe de genre 3 $H_{m,n}$ est borné par la taille du sous-groupe de torsion de $E_q$.
• Logique :
  1. Vérifier que $\text{rk}(E_q(\mathbb{Q})) = 0$.
  2. Calculer $|E_q(\mathbb{Q})_{\text{tors}}|$.
  3. Appliquer les points rationnels de $H_{m,n}$ à $E_q$. Puisque l'application est de degré 2, $|H_{m,n}(\mathbb{Q})| \le 2 \cdot |E_q(\mathbb{Q})_{\text{tors}}|$.
  4. Étape cruciale : La courbe $H_{m,n}$ possède toujours 8 points rationnels « triviaux » connus correspondant à des briques dégénérées (où une ou plusieurs arêtes sont nulles).
  5. Si la borne supérieure dérivée de l'intersection de torsion est exactement égale à 8, alors aucun point non trivial (pavé parfait) n'existe sur cette fibre.

D. Certification inconditionnelle du rang

Pour garantir que la preuve est inconditionnelle (ne reposant pas sur des conjectures non prouvées comme l'HGR), l'auteur utilise deux techniques complémentaires pour vérifier l'hypothèse de rang nul :

1. Descente 2 : Utilisation de ellrank de PARI/GP pour obtenir des bornes rigoureuses $[r_{bas}, r_{haut}]$. Si $r_{bas} = r_{haut} = 0$, le rang est prouvé nul.
2. Symboles modulaires (Théorème de Kolyvagin) : Pour les cas où la descente 2 est ambiguë (par exemple $[0, 2]$), l'auteur calcule exactement $L(E, 1)/\Omega_E$ en utilisant les symboles modulaires de Sage.
   • Par le théorème de modularité et le théorème de Kolyvagin, si $L(E, 1) \neq 0$, le rang est 0.
   • Pour les courbes semi-stables (ce qui était le cas de tous les facteurs rencontrés), la constante de Manin est 1, garantissant que le calcul des symboles modulaires est exact et inconditionnel.

3. Contributions clés

1. Classification structurelle (Théorème 2.4) : Prouve la direction inverse de la paramétrisation par tuple maître, montrant que chaque brique d'Euler primitive correspond à un tuple maître. C'était un maillon manquant dans la littérature précédente.
2. Argument par torsion-intersection : Applique une borne d'intersection affinée aux quotients elliptiques $E_{uV}$ et $E_3$. Contrairement aux travaux antérieurs qui se concentraient sur $E_A$, cet article exploite la géométrie spécifique de $E_{uV}$ et $E_3$ pour contraindre le dénombrement des points à exactement 8.
3. Dénombrement raffiné des relèvements : Lorsque la borne de torsion naïve est trop large (par exemple, une taille de torsion de 8 donnant une borne de 12), l'auteur effectue un dénombrement explicite des 8 points de torsion sur le modèle quartique. En vérifiant quels points se « relèvent » rationnellement vers la courbe de genre 3, ils affinent la borne jusqu'à 8.
4. Chaîne de certification inconditionnelle : Un flux de travail computationnel robuste combinant PARI/GP et SageMath qui évite de dépendre de l'hypothèse de Riemann généralisée (HGR) ou de la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, reposant plutôt sur le théorème de Kolyvagin et la borne d'Edixhoven sur la constante de Manin.

4. Résultats

• Portée : L'étude couvre tous les couples premiers entre eux $(m, n)$ avec $\max(m, n) \le 100$ et $m-n$ impair. Il y a 2 040 tels couples.
• Taux de réussite : La méthode prouve inconditionnellement la non-existence de pavés parfaits sur 1 072 fibres (environ 52,5 % de l'espace de recherche).
• Répartition des fibres prouvées :
  • 827 fibres via $E_3$ : 359 par descente 2 précise, 468 par certification par symboles modulaires.
  • 245 fibres via $E_{uV}$ : Toutes ont nécessité l'argument raffiné de dénombrement des relèvements (Cas c) car la taille de torsion était de 8.
• Résultat : Pour ces 1 072 fibres, l'ensemble des points rationnels sur la courbe de genre 3 associée est exactement l'ensemble des 8 points dégénérés. Ainsi, aucun pavé parfait n'existe pour tout tuple maître dérivé de ces couples $(m, n)$.

5. Signification et limites

• Signification :
  • Il s'agit de la première preuve inconditionnelle de la non-existence de pavés parfaits sur un grand ensemble explicite de fibres, sans recourir à des conjectures non prouvées.
  • Elle démontre la puissance de la combinaison de la descente explicite avec des calculs de symboles modulaires pour résoudre les cas de rang nul dans des familles de courbes.
  • Elle fournit un cadre concret (tuples maîtres) pour les recherches exhaustives futures.
• Limites et travaux futurs :
  • Couverture : Le résultat ne couvre qu'environ 52 % des fibres jusqu'à $m,n \le 100$. Les 968 fibres restantes ont soit des rangs ambigus dépassant les budgets computationnels actuels (conducteur $> 10^{12}$), soit un rang jacobien total $\ge 3$, rendant les méthodes de Chabauty standard inapplicables.
  • Fibres difficiles : Les fibres où les trois facteurs elliptiques ont un rang $\ge 1$ (par exemple $(5,2)$) restent ouvertes.
  • Extensions : L'auteur suggère que la Chabauty quadratique (méthodes p-adiques) et le criblage de Mordell-Weil sont les prochaines étapes nécessaires pour aborder les fibres « difficiles » restantes et potentiellement étendre la borne à des $m, n$ plus élevés.

En résumé, Peschmann fournit une preuve rigoureuse, assistée par ordinateur, qui élimine la possibilité de pavés parfaits pour un sous-ensemble significatif de l'espace des paramètres, établissant une nouvelle référence pour les résultats inconditionnels dans ce problème classique.