Stackelberg-Nash controllability for a multi-objective Stefan problem

1. Énoncé du problème

L'article étudie un problème de contrôle hiérarchique multi-objectif pour un système de Stefan unidimensionnel, qui modélise les transitions de phase (fusion/solidification) avec une frontière mobile.

• Le système : L'état est décrit par la température $y(x,t)$ dans un domaine dépendant du temps $Q_\ell = \{(x,t) : 0 < x < \ell(t), 0 < t < T\}$. L'évolution est régie par une équation parabolique avec une frontière mobile $\ell(t)$ déterminée par la condition de Stefan :
  $$\ell'(t) = -\frac{1}{\beta} y_x(\ell(t), t)$$
  où $\beta$ est le coefficient de chaleur latente.
• Les contrôles : Le système implique trois fonctions de contrôle :
  1. Le Leader ($f$) : Agit sur un sous-domaine $\mathcal{O}$. Son objectif est la contrôlabilité à zéro (conduire la température $y$ à zéro au temps $T$).
  2. Les Suiveurs ($v_1, v_2$) : Agissent sur des sous-domaines $\mathcal{O}_1$ et $\mathcal{O}_2$. Leurs objectifs sont le suivi : minimiser l'écart de $y$ par rapport à des profils cibles désirés $y_{i,d}$ dans des sous-régions $\mathcal{O}_{i,d}$, tout en pénalisant l'effort de contrôle.
• La structure du jeu : Le problème adopte un cadre Stackelberg-Nash :
  • Stackelberg : $f$ est le « leader » qui choisit un contrôle en premier, anticipant la réaction des suiveurs.
  • Nash : Les suiveurs $v_1$ et $v_2$ réagissent de manière non coopérative. Étant donné $f$, ils recherchent un équilibre de Nash où aucun ne peut améliorer son fonctionnel de coût en changeant unilatéralement son contrôle.
• L'objectif : Prouver l'existence d'un contrôle de leader $f$ tel que le système atteigne la contrôlabilité à zéro au temps $T$, sous la contrainte que $(v_1, v_2)$ forment un équilibre de Nash.

2. Méthodologie

Les auteurs emploient une approche analytique rigoureuse combinant la théorie du contrôle optimal, la théorie des jeux et les équations aux dérivées partielles (EDP) sur des domaines non cylindriques. La stratégie de preuve se divise en trois étapes principales :

Étape 1 : Réduction à un système d'optimalité

Les auteurs caractérisent d'abord l'équilibre de Nash pour les suiveurs. En analysant les dérivées de Gâteaux des fonctionnels de coût convexes $J_1$ et $J_2$, ils montrent qu'un équilibre de Nash $(v_1, v_2)$ existe et est unique pour des paramètres de pénalité $\mu_i$ suffisamment grands.
Crucialement, les contrôles d'équilibre sont exprimés explicitement en fonction des états adjoints $\phi_1, \phi_2$ :
$$v_i = -\frac{1}{\mu_i} \phi_i \mathbb{1}_{\mathcal{O}_i}$$
En substituant ces expressions dans l'équation d'état, le problème multi-objectif original se transforme en un système d'optimalité non linéaire (un système couplé d'équations paraboliques forward et backward) où le contrôle du leader $f$ doit conduire l'état $y$ à zéro.

Étape 2 : Linéarisation et contrôlabilité approchée

Pour traiter la non-linéarité et la frontière mobile, les auteurs linéarisent le système d'optimalité. Ils établissent la contrôlabilité approchée pour ce système linéarisé en utilisant un argument de dualité.

• Système adjoint : Ils dérivent le système adjoint associé au système d'optimalité linéarisé.
• Inégalité d'observabilité : Le cœur de la preuve repose sur l'établissement d'une inégalité d'observabilité globale pour le système adjoint. Cette inégalité borne l'énergie initiale de l'état adjoint par l'observation de l'état sur la région de contrôle $\mathcal{O}$.
• Estimations de Carleman : Pour prouver l'inégalité d'observabilité, les auteurs dérivent des estimations de Carleman adaptées à la frontière mobile.
  • Ils construisent des fonctions de poids de type Fursikov spécifiques qui s'adaptent à la frontière mobile $\ell(t)$.
  • Ils traitent deux configurations géométriques pour les domaines de contrôle et d'observation :
    1. Cas (G1) : Les domaines d'observation des suiveurs coïncident ($\mathcal{O}_{1,d} = \mathcal{O}_{2,d}$).
    2. Cas (G2) : Les domaines d'observation diffèrent ($\mathcal{O}_{1,d} \neq \mathcal{O}_{2,d}$).
  • La construction implique de faire correspondre deux fonctions de poids différentes pour gérer le couplage dans le système adjoint, ce qui constitue un défi technique majeur lorsque le domaine est non cylindrique.

Étape 3 : Argument de point fixe pour le système non linéaire

Une fois la contrôlabilité approchée établie pour le système linéarisé, les auteurs utilisent un théorème du point fixe de Schauder pour prouver la contrôlabilité du problème de Stefan non linéaire original.

• Ils définissent un opérateur $\Lambda_\epsilon$ qui mappe une frontière mobile candidate $\ell$ vers une nouvelle frontière générée par la solution du système linéarisé avec un contrôle approché.
• Compacité : Un obstacle technique majeur est la preuve de la compacité de cet opérateur. Les auteurs utilisent des estimations de régularité Hölder parabolique pour la dérivée normale $y_x$ à la frontière mobile. Ils montrent que, pour de petites données initiales et cibles, l'opérateur mappe un ensemble borné, fermé et convexe dans lui-même et est continu.
• Processus limite : En passant à la limite lorsque le paramètre d'approximation $\epsilon \to 0$, ils obtiennent une solution satisfaisant la condition exacte de contrôlabilité à zéro $y(\cdot, T) = 0$.

3. Contributions clés

1. Premier traitement Stackelberg-Nash des problèmes de Stefan : C'est le premier travail appliquant des stratégies hiérarchiques Stackelberg-Nash à un problème de Stefan à frontière libre, étendant les résultats précédents sur les équations paraboliques à domaine fixe.
2. Nouvelles fonctions de poids pour les frontières mobiles : Les auteurs construisent de nouvelles fonctions de poids de type Fursikov compatibles avec la condition de frontière mobile. Cela permet de dériver des estimations de Carleman dans des domaines non cylindriques, surmontant les limites des poids existants conçus pour des domaines fixes.
3. Gestion des conflits multi-objectifs : L'article résout avec succès le conflit entre l'objectif du leader (contrôlabilité à zéro) et les objectifs des suiveurs (suivi) en réduisant le problème à la contrôlabilité à zéro d'un système d'optimalité couplé.
4. Flexibilité géométrique : Les résultats tiennent sous deux configurations géométriques distinctes concernant le chevauchement des régions de contrôle et d'observation, offrant une robustesse à la configuration du domaine.

4. Résultats principaux

• Théorème 1.1 (Résultat principal) : Sous des conditions géométriques appropriées sur les régions de contrôle et en supposant de petites données initiales et fonctions cibles, il existe un contrôle de leader $f$ et un équilibre de Nash unique $(v_1, v_2)$ tels que la température $y$ atteigne zéro au temps $T$.
• Théorème 1.2 : Établit la contrôlabilité à zéro du système d'optimalité non linéaire (le moteur mathématique central du problème).
• Théorèmes 1.3 et 1.4 : Fournissent la contrôlabilité approchée du système linéarisé et l'inégalité d'observabilité cruciale dérivée via les estimations de Carleman.

5. Importance et perspectives futures

• Avancement théorique : Ce travail comble le fossé entre les stratégies de contrôle basées sur la théorie des jeux (Stackelberg-Nash) et les problèmes à frontière libre, une classe de problèmes connue pour sa complexité mathématique due à l'interface mobile.
• Applications : Le cadre est applicable à divers processus physiques et biologiques impliquant des changements de phase, tels que la coulée de métal, la fonte de la glace et la modélisation de la croissance tumorale, où plusieurs parties prenantes (par exemple, différentes zones de chauffage) ont des objectifs concurrents.
• Questions ouvertes : Les auteurs soulignent plusieurs problèmes ouverts, notamment :
  • Étendre les résultats aux équations paraboliques quasi-linéaires et dégénérées.
  • Étudier le cas où les rôles de leader et de suiveur sont inversés.
  • Aborder le contrôle du problème de Stefan dans des domaines en étoile ou en dimensions supérieures.

En résumé, cet article fournit une fondation mathématique rigoureuse pour le contrôle de systèmes multi-agents complexes régis par des EDP à frontière mobile, en utilisant des techniques avancées d'estimations de Carleman et de théorie du point fixe.