Explicit Two-Sided Eigenvalue Bounds for Schrödinger Operators with Singular Potentials via Finite Element Method

Résumé technique : Bornes explicites bilatérales pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger avec potentiels singuliers via la méthode des éléments finis

Énoncé du problème
L'article traite du calcul de bornes explicites et calculables bilatérales pour les valeurs propres $\lambda_k$ de l'opérateur de Schrödinger $H = -\Delta + V$ sur des domaines non bornés $\mathbb{R}^N$ ($N=2, 3$). Le défi principal réside dans la prise en compte de potentiels attractifs singuliers de type Coulomb, spécifiquement $V(x) = -Z/|x|$ (modélisant l'atome d'hydrogène) et des potentiels à deux centres $V(x) = -Z_1/|x-a_1| - Z_2/|x-a_2|$ (modélisant l'ion moléculaire $H_2^+$).

Les méthodes numériques existantes fournissent généralement des bornes supérieures via la méthode de Galerkin conforme (Rayleigh–Ritz). L'obtention de bornes inférieures rigoureuses est nettement plus difficile, en particulier pour les domaines non bornés et les potentiels singuliers où le potentiel est non borné inférieurement. Les techniques classiques de bornes inférieures (par exemple Lehmann–Maehly–Goerisch, Kato–Temple) nécessitent souvent des méthodes non conformes ou des conditions spécifiques qui échouent lorsque le potentiel $V$ est négatif et singulier. De plus, les approches par éléments finis standard pour les bornes inférieures reposent fréquemment sur un décalage du potentiel par sa norme $L^\infty$ de la partie négative ($\gamma_h = \|c_h^-\|_{L^\infty}$). Pour les singularités de Coulomb, $\gamma_h$ diverge lorsque le maillage est raffiné ($O(h^{-1})$), ce qui empêche la convergence de la borne inférieure.

Méthodologie
L'algorithme proposé combine une troncature de domaine avec une extension de la méthode des éléments finis Crouzeix–Raviart enrichie composite (CECR). L'approche est structurée en trois composantes principales :

1. Troncature du domaine : Le domaine non borné $\mathbb{R}^N$ est tronqué en un domaine borné $D(R)$.

   • Bornes supérieures : Obtenues via des conditions aux limites de Dirichlet ($u=0$ sur $\partial D(R)$) en utilisant des éléments de Galerkin conformes $P_1$ standards.
   • Bornes inférieures : Obtenues via des conditions aux limites de Neumann ($\partial u/\partial n = 0$). Un lemme clé établit que si le minimum du potentiel extérieur $\sigma_{ext}(D(R))$ dépasse la $k$-ième valeur propre, la valeur propre de Neumann sur $D(R)$ fournit une borne inférieure valide pour la valeur propre de l'espace entier. Cette condition est vérifiée a posteriori en utilisant la borne supérieure calculée.

2. Cadre CECR pour les potentiels changeant de signe :

   • La méthode emploie un cadre d'espace de paires où les fonctions sont relevées vers des paires $(u, \Pi_{0,h}u)$, séparant l'énergie cinétique (gradient) de l'énergie de réaction (potentiel).
   • Pour gérer la singularité sans décalages divergents, les auteurs introduisent une constante de réaction élémentaire $\Gamma_h := \max_K c_{h|K}^- \cdot h_K^2 / \pi^2$. Contrairement au décalage global $L^\infty$ $\gamma_h$, $\Gamma_h$ s'annule ($O(h^2)$ ou $O(h)$ selon le gradation) lorsque le maillage est raffiné, même pour les singularités de Coulomb.
   • Un décalage fixe $\sigma > 0$ (indépendant de la taille du maillage $h$) est appliqué au potentiel pour assurer la coercivité de la forme bilinéaire décalée. Cela évite le besoin de décalages dépendant du maillage qui divergent.

3. Analyse de perturbation :

   • Le potentiel continu $V$ est approché par sa moyenne élémentaire constante par morceaux $c_h$.
   • Un lemme de perturbation borne l'erreur introduite par le remplacement de $V$ par $c_h$. Le rapport de perturbation $\epsilon_h$ est montré pour converger vers zéro ($O(h^2)$ sur des maillages gradués) sous des hypothèses spécifiques de gradation du maillage près des singularités.

Contributions clés
L'article revendique les contributions spécifiques suivantes :

• Premières bornes inférieures explicites convergentes : Il présente le premier algorithme numérique fournissant des bornes bilatérales explicites et convergentes pour les valeurs propres des opérateurs de Schrödinger avec des potentiels singuliers non bornés sur des domaines non bornés.
• Théorème abstrait d'espace de paires : Il développe un cadre d'espace de paires qui relève l'analyse CECR vers un espace à deux composantes, permettant une preuve auto-contenue par max-min du théorème de borne inférieure pour les potentiels non définis de signe.
• Constante de réaction élémentaire ($\Gamma_h$) : Il introduit $\Gamma_h$ pour remplacer le décalage $L^\infty$ divergent. Cela permet à l'écart CECR de se refermer à un taux de $O(h^2)$ sur des maillages gradués, contournant le besoin de constantes de norme de forme incalculables.
• Encadrement bilatéral à décalage fixe : Il assemble un encadrement entièrement calculable $L_k \le \lambda_k \le U_k$ qui ne nécessite pas de contrôle $L^\infty$ de la partie négative du potentiel.
• Application à $H_2^+$ : Il spécialise la théorie au potentiel de Coulomb à deux centres, fournissant des formules explicites pour les décalages admissibles et les paramètres de perturbation en 2D et 3D.

Résultats numériques
L'algorithme est validé sur quatre cas de test :

1. Atome d'hydrogène 2D ($V = -1/|x|$) : La méthode encadre avec succès l'état fondamental exact $\lambda_1 = -1$. L'intervalle de borne inférieure certifié se rétrécit considérablement avec le raffinement du maillage, les bornes à décalage optimal atteignant des largeurs de $0,002$ au niveau le plus fin.
2. Ion $H_2^+$ 2D : Les résultats pour le potentiel à deux centres montrent une convergence, l'intervalle certifié pour l'état fondamental se rétrécissant de $[-4,43, -1,317]$ à $[-2,36, -1,317]$ au fur et à mesure que le maillage se raffine.
3. Atome d'hydrogène 3D : Sur un domaine sphérique, la méthode encadre la valeur exacte $\lambda_1 = -0,25$. La largeur de l'encadrement de Neumann certifié converge en $O(h^2)$.
4. Ion $H_2^+$ 3D : Pour l'ion moléculaire sur un domaine cubique, la méthode fournit un intervalle certifié $[-1,045, -0,544]$ (largeur $0,501$) pour l'état fondamental, qui contient la valeur de référence $\approx -0,5513$.

Dans tous les cas, l'écart de la borne inférieure CECR $(\mu_{k,h}^\sigma - \sigma) - L_{k}^{\mu,\sigma}$ est observé se refermer au taux prédit de $O(h^2)$ sur des maillages gradués. L'article note que bien que les écarts en 3D soient plus larges qu'en 2D en raison d'une décroissance plus lente de la constante élémentaire sur des maillages tétraédriques grossiers, le comportement de convergence est cohérent avec la théorie.

Signification et revendications
L'article affirme que ce travail constitue le premier cadre d'éléments finis capable de fournir des bornes inférieures explicites et convergentes pour les valeurs propres associées à des potentiels singuliers non bornés. La signification réside dans la surmontation du « fossé de coercivité » causé par les potentiels attractifs singuliers, qui faisait auparavant diverger les techniques standard de bornes inférieures.

Les auteurs soulignent que la méthode est explicite : toutes les constantes (constantes d'interpolation, bornes de perturbation, paramètres de décalage) sont dérivées sous forme close à partir des données du maillage et du potentiel. Bien que l'implémentation actuelle utilise l'arithmétique double précision, les auteurs déclarent explicitement que la conversion vers des encadrements entièrement vérifiés (sécurisés IEEE-754, arithmétique d'intervalles) est une étape de vérification distincte laissée pour un travail futur. L'article note également que bien que les bornes actuelles soient basées sur la projection, elles servent de point de départ rigoureux ($\rho$) pour des techniques de post-traitement plus précises comme les bornes de Lehmann–Goerisch, qui pourraient resserrer davantage les intervalles.

Le travail ne revendique pas de résoudre directement le problème multi-électrons, mais identifie l'extension aux Hamiltoniens magnétiques et aux systèmes multi-électrons avec des contraintes d'antisymétrie comme des directions naturelles pour l'avenir.