Revised Demailly's Affineness Criterion and Algebraization of Entire Grauert Tubes

Résumé technique : Critère d'affinité révisé de Demailly et algébrisation des tubes de Grauert entiers

Énoncé du problème
L'article aborde la conjecture de Burns de 1982, qui demande si un tube de Grauert entier $T^\infty M$ (le fibré tangent d'une variété riemannienne réelle-analytique $(M, g)$ équipée d'une structure de Stein spécifique) est une variété algébrique affine. Alors que les variétés de Stein sont les analogues analytiques des variétés affines, les premières sont définies par des fonctions holomorphes arbitraires et sont généralement plus flexibles que les secondes. La conjecture postule un lien profond entre la condition analytique de l'équation de Monge-Ampère complexe homogène (HCMA) et la propriété algébrique de l'affinité.

Les tentatives précédentes pour résoudre ce problème, notamment par Aguilar et Burns, reposaient sur le critère d'affinité de Demailly de 1985. Ce critère nécessite l'existence d'une fonction d'exhaustion strictement plurisousharmonique $\phi$ et d'une fonction $\psi$ satisfaisant des bornes spécifiques de croissance et de courbure de Ricci. L'obstacle identifié dans la littérature est que le candidat naturel pour $\psi$, dérivé du prolongement analytique de la forme de volume de $M$, possède souvent des pôles le long d'un ensemble singulier $S$. Par conséquent, la fonction $\psi$ requise prend la valeur $-\infty$ sur $S$, rendant le critère original inapplicable.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche à deux volets : premièrement, établir une version généralisée du critère de Demailly qui accommodate les singularités, et deuxièmement, appliquer ce critère à la géométrie spécifique des tubes de Grauert entiers.

1. Critère d'affinité révisé : L'article introduit une version modifiée du critère de Demailly (Théorème 1.2) pour une variété de Stein $X$ de volume de Monge-Ampère fini. Au lieu d'exiger une fonction globale $\psi$ satisfaisant la borne de Ricci partout, le nouveau critère permet un ensemble singulier $S = \{x \mid e^{-2\psi} \notin L^1_{loc}(x)\}$.

   • La méthodologie utilise des estimations $L^2$ pondérées (de type Bombieri–Hörmander–Skoda) pour construire des fonctions holomorphes $b_p$ qui s'annulent sur $S$ mais sont non nulles en des points spécifiques $p \in X \setminus S$.
   • En restreignant la variété aux ouverts $X \setminus b_p^{-1}(0)$, l'ensemble des singularités est « découpé », permettant l'application des arguments originaux de Demailly pour prouver que ces sous-ensembles ouverts sont biholomorphes à des variétés affines.
   • L'article analyse ensuite la structure globale de $X \setminus S$ sous des hypothèses cohomologiques, montrant qu'il peut être plongé comme un ouvert de Zariski d'une variété affine normale.

2. Application aux tubes de Grauert : L'auteur construit les données géométriques nécessaires pour un tube de Grauert entier $TM$ :

   • Exhaustion strictement plurisousharmonique : Une fonction $\phi = \log(1 + \cosh(\sqrt{2E}))$ est définie, où $E$ est l'énergie cinétique.
   • Métrique complexifiée : Un tenseur méromorphe $(2,0)$ non dégénéré $g_C$ est construit en prolongeant la métrique de base $g$ méromorphiquement le long des feuilles du feuilletage de Monge-Ampère (géodésiques complexifiées).
   • Fonction de borne de Ricci : La fonction $\psi = -\log \|\det(g_C)\|_\beta$ est définie, où $\beta = dd^c e^\phi$. L'auteur prouve que $\psi$ satisfait la condition de croissance requise $\psi \leq A\phi + B$ et la borne de courbure de Ricci $Ric(\beta) + \frac{1}{2}dd^c\psi \geq 0$ au sens des courants.
   • Identification de la singularité : L'ensemble $S$ où le critère échoue est identifié exactement comme l'ensemble des pôles de $\det(g_C)$, appelé « singularité du tube ».

Résultats clés

• Théorème 1.2 (Critère d'affinité révisé) : Établit que si une variété de Stein $X$ a un volume de Monge-Ampère fini et admet une fonction $\psi$ satisfaisant la borne de Ricci en dehors d'un ensemble $S$, alors $X \setminus S$ est recouvert par des ouverts de Zariski de variétés affines. Si $S = \emptyset$ et que la cohomologie est de dimension finie, $X$ est affine.
• Théorème 1.3 (Algébrisation des tubes de Grauert entiers) : Pour tout tube de Grauert entier $TM$, la métrique $g$ se prolonge en un tenseur méromorphe $g_C$. Soit $S$ l'ensemble des pôles de $\det(g_C)$. Pour tout point $p \in TM \setminus S$, il existe une fonction holomorphe $b_p$ telle que $TM \setminus b_p^{-1}(0)$ soit biholomorphe à une variété affine lisse. De plus, $TM \setminus S$ est une variété de Stein recouverte par de tels ouverts affines.
• Contre-exemples à l'affinité globale : L'article fournit des exemples explicites (surfaces de révolution $M_d$ pour $d \neq 0$) où la singularité du tube $S$ est non vide. Dans ces cas, la matrice de transition $\Phi'$ des champs de vecteurs parallèles dégénère, provoquant des pôles pour $\det(g_C)$. Cela démontre que la conjecture de Burns ne vaut pas sous sa forme la plus forte (que $TM$ elle-même soit affine) sans conditions supplémentaires sur $S$.

Signification et affirmations
L'article prétend fournir une « réponse partielle » à la conjecture de Burns. Il établit qu'un tube de Grauert entier est affine en dehors d'un sous-ensemble de codimension un (la singularité du tube $S$). La signification réside dans :

1. Généralisation du critère de Demailly : Le critère révisé (Théorème 1.2) est présenté comme un outil d'intérêt indépendant, relâchant les exigences de régularité sur le potentiel de Ricci $\psi$ pour permettre les singularités, élargissant ainsi la classe de variétés auxquelles les techniques d'algébrisation peuvent être appliquées.
2. Clarification de l'obstacle : Le travail identifie la singularité du tube $S$ (l'ensemble des pôles du déterminant de la métrique complexifiée) comme l'obstacle précis à l'affinité complète du tube de Grauert. Il relie directement l'échec de l'approche Aguilar–Burns à l'existence de ces pôles.
3. Lien avec la bonne complexification : Les résultats suggèrent que si la singularité du tube $S$ peut être montrée comme vide (ou si la cohomologie de $TM \setminus S$ satisfait des conditions de finitude spécifiques), la conjecture de Burns impliquerait la conjecture de bonne complexification pour les variétés admettant des tubes de Grauert entiers.

L'auteur reste modeste concernant la résolution complète de la conjecture de Burns, notant qu'une preuve complète nécessite une compréhension plus profonde de la topologie et de la structure de l'ensemble singulier $S$, pour lequel aucune méthode de contrôle général n'existe actuellement. L'article conclut en posant des questions concernant la cohomologie de $TM \setminus S$ et la possibilité de déformer la métrique pour éliminer $S$.