Linearization Problem for Third-Order ODEs with Four- and Five-Dimensional Lie Symmetry Algebras under Contact Transformations

Résumé technique : Linéarisation des EDO d'ordre trois avec des algèbres de symétrie de Lie de dimensions quatre et cinq sous transformations de contact

Énoncé du problème
L'article aborde le problème de linéarisation pour les équations différentielles ordinaires (EDO) scalaires d'ordre trois de la forme $u''' = f(x, u, u', u'')$. Plus précisément, il examine les conditions sous lesquelles de telles équations peuvent être transformées en formes canoniques linéaires via des transformations de contact (transformations impliquant la variable indépendante, la variable dépendante et la première dérivée). L'étude se concentre sur deux classes spécifiques d'équations linéarisables caractérisées par leurs algèbres de symétrie de Lie : celles admettant une algèbre de Lie de dimension quatre et celles admettant une algèbre de Lie de dimension cinq.

Alors que des travaux antérieurs (par exemple, Chern, Neut, Petitot, Ibragimov, Meleshko et Al-Dweik et al.) ont établi des critères de linéarisation sous transformations ponctuelles ou fourni des conditions d'équivalence à des formes linéaires, ce travail vise à :

1. Généraliser ces résultats à la classe plus large des transformations de contact.
2. Distinguer clairement les formes canoniques admettant quatre symétries de celles admettant cinq symétries.
3. Fournir une procédure explicite et algorithmique pour construire les transformations de contact qui réduisent une EDO non linéaire donnée à sa forme canonique linéaire, plutôt que de se contenter d'énoncer des conditions d'existence.

Méthodologie
Les auteurs emploient la méthode d'équivalence de Cartan pour résoudre le problème. La méthodologie procède par les étapes techniques suivantes :

1. Configuration géométrique : Le problème est formulé sur l'espace des jets d'ordre deux $J^2$ avec les coordonnées locales $(x, u, p, q)$ où $p=u'$ et $q=u''$. Un co-repère de base est défini, et l'équivalence de deux EDO sous transformations de contact est exprimée comme une condition fondamentale d'équivalence impliquant un tiré en arrière de ce co-repère par un groupe de structure de dimension neuf $G$.
2. Processus de réduction : Les auteurs effectuent une réduction systématique du groupe de structure en normalisant les coefficients de torsion dans les équations de structure. Cela implique :
   • L'absorption des termes de torsion dans les paramètres du groupe.
   • L'identification des coefficients de torsion essentiels qui servent d'invariants relatifs ($I_1, I_2, \dots, I_{15}$).
   • La bifurcation de l'analyse basée sur l'annulation ou la non-annulation de ces invariants.
3. Bifurcation et classification : Le processus de réduction conduit à deux branches principales basées sur l'invariant $I_3$ (lié à la non-annulation d'un invariant de type Wünschmann).
   • Branche $I_3 \neq 0$ : Une réduction ultérieure conduit à une sous-branche définie par l'annulation d'un ensemble d'invariants ($I_6, I_8, I_{10}, I_{11}, I_{12}$). Au sein de celle-ci, une distinction supplémentaire est faite basée sur l'invariant $K = I_9/J_3^2$ :
     • Cas $K$ constant : Correspond à la forme canonique $\bar{u}''' = s\bar{u}' + \bar{u}$ (cinq symétries).
     • Cas $K$ non constant : Correspond à la forme canonique $\bar{u}''' = \bar{a}_3(\bar{x})\bar{u}$ (quatre symétries), sous réserve de conditions d'annulation supplémentaires sur les dérivées de $K$.
4. Construction des transformations : Une fois les co-repères invariants établis pour les formes canoniques, les auteurs dérivent des systèmes d'équations aux dérivées partielles (EDP) pour construire les transformations de contact explicites. Ces systèmes sont de nature linéaire ou de Riccati, offrant une alternative constructive à la résolution directe de systèmes d'EDP non linéaires.

Résultats clés

• Théorème 3.1 (Cinq symétries) : Une EDO d'ordre trois est équivalente à la forme canonique $\bar{u}''' = s\bar{u}' + \bar{u}$ (où $s$ est une constante) par transformations de contact si et seulement si les invariants relatifs $I_6, I_8, I_{10}, I_{11}, I_{12}$ s'annulent identiquement, et que l'invariant $K$ est constant (spécifiquement $K=s$).
• Théorème 3.2 (Quatre symétries) : Une EDO d'ordre trois est équivalente à la forme canonique $\bar{u}''' = \bar{a}_3(\bar{x})\bar{u}$ (où $\bar{a}_3$ est non constant) par transformations de contact si et seulement si les invariants relatifs $I_6, I_8, I_{10}, I_{11}, I_{12}$ s'annulent, et que les invariants supplémentaires $I_{13}, I_{14}, I_{15}$ (impliquant les dérivées de $K$) s'annulent, avec la condition que $K$ n'est pas constant ($\hat{D}_x K \neq 0$).
• Procédures constructives (Propositions 4.1 et 4.2) : L'article fournit des algorithmes explicites pour trouver les transformations de contact $(\bar{x}, \bar{u}, \bar{p}) = (\phi, \psi, \chi)$ :
  • Pour le cas à cinq symétries, la transformation est obtenue en résolvant un système d'EDP linéaires du premier ordre pour des fonctions auxiliaires $a_1, \phi, \eta, \chi, \psi$.
  • Pour le cas à quatre symétries, la procédure implique une étape supplémentaire de résolution d'une équation de type Riccati pour une fonction auxiliaire $H$, suivie de systèmes linéaires pour $b, a_1, \phi, \eta, \chi, \psi$.
• Exemples illustratifs :
  • L'équation $u''' = \alpha (u'')^2 / u'$ est montrée comme étant linéarisable vers la forme à cinq symétries sous transformations de contact, mais pas sous transformations ponctuelles (démontrant la nécessité du cadre de contact).
  • L'équation $u''' = -x(u')^4(u'')^3 + u(u')^3(u'')^3$ est montrée comme étant linéarisable vers la forme à quatre symétries sous transformations de contact, échouant à nouveau aux critères de linéarisation par transformation ponctuelle.

Portée et revendications
Les auteurs affirment que leur travail fournit un cadre novateur pour mettre en œuvre la méthode de Cartan qui gère efficacement la complexité et la croissance des expressions inhérentes au problème d'équivalence. Les contributions principales sont :

1. Généralisation : Étendre les critères de linéarisation des transformations ponctuelles aux transformations de contact plus générales, capturant ainsi une classe plus large d'EDO linéarisables.
2. Distinction : Séparer clairement les formes canoniques basées sur la dimension de leurs algèbres de symétrie de Lie (quatre contre cinq), qui étaient précédemment traitées de manière moins distincte dans le contexte des transformations de contact.
3. Construction algorithmique : Contrairement aux approches antérieures qui nécessitaient souvent la résolution de systèmes non linéaires d'EDP ou ne traitaient pas la construction des transformations, cet article offre une procédure constructive et algorithmique. En réduisant le problème à des systèmes d'EDP linéaires ou de Riccati dérivés de co-repères invariants, la méthode fournit une voie pratique pour calculer les transformations explicites.
4. Clarté géométrique : L'utilisation de co-repères invariants fournit une caractérisation géométrique complète des équations linéarisables, définissant les conditions nécessaires et suffisantes pour l'équivalence.

L'article conclut que ce cadre offre une voie de calcul efficace pour construire des transformations de contact, étendant l'utilité de la méthode d'équivalence de Cartan à la linéarisation des EDO d'ordre trois dans un contexte plus large que précédemment disponible.