Invariant domain preserving limiting of time explicit and time implicit discretizations for systems of conservation laws

Résumé technique : Limitation préservant le domaine invariant pour les discrétisations explicites et implicites en temps

Énoncé du problème
L'article aborde le défi de concevoir des approximations numériques d'ordre élevé (OE) pour des systèmes hyperboliques non linéaires de lois de conservation qui préservent les domaines invariants (DI). Bien que les méthodes OE capturent avec précision les solutions régulières, elles échouent souvent à satisfaire les contraintes physiques au niveau discret, telles que la positivité de la densité et de l'énergie interne ou le respect des inégalités d'entropie. À l'inverse, les schémas d'ordre faible (OW) (par exemple, Godunov, Lax-Friedrichs) sont connus pour préserver ces domaines invariants mais souffrent d'une diffusion numérique excessive. L'objectif est de construire une technique de limitation qui restreint la solution OE pour qu'elle reste dans l'ensemble convexe des états admissibles $D$ (par exemple, densité positive, énergie interne positive, bornes d'entropie) sans sacrifier la conservation ni la précision d'ordre élevé dans les régions régulières.

Méthodologie
Les auteurs proposent un cadre général de limitation applicable à toute discrétisation spatiale conservative (Volumes Finis, Galerkin Discontinu) et à un large éventail de schémas d'intégration en temps, incluant les Runge-Kutta (RK) explicites et implicites, les méthodes multistep et l'intégration en temps par Galerkin Discontinu (DG).

1. Concept de base : La méthode limite la solution OE autour d'une solution OW garantie comme préservant les DI. Elle généralise le cadre du Transport Corrigé par Flux (FCT) en limitant les flux antidiffusifs (la différence entre les résidus OE et OW) mais définit les coefficients de limitation pour exprimer la solution finale comme une combinaison convexe de quantités préservant les DI, à l'instar du cadre de limitation convexe.
2. Coefficients de limitation : Contrairement au FCT standard qui impose des bornes sur les composantes de la solution, cette approche définit des coefficients $l_{\kappa,\kappa'}^{i,j}$ tels que la solution limitée $u_h^{n+1}$ soit une combinaison convexe de la solution OW et de la mise à jour OE. Les coefficients sont déterminés en trouvant les plus grands facteurs d'échelle $k$ tels que les états intermédiaires restent dans le domaine invariant $D$.
3. Procédure itérative : Le limiteur est intégré dans un algorithme itératif. En partant de la solution OW, la méthode affine itérativement la solution limitée en réappliquant le limiteur à la différence entre la solution OE et la solution limitée courante. Ce processus se poursuit jusqu'à ce qu'une tolérance soit atteinte ou qu'un nombre maximum d'itérations soit atteint, visant à récupérer la solution OE aussi près que possible tout en maintenant les propriétés de préservation du domaine invariant (IDP).
4. Accélération : Un facteur d'accélération heuristique $\beta \geq 1$ est introduit pour mettre à l'échelle les coefficients de limitation, accélérant la convergence du processus itératif vers la solution OE.
5. Adaptation à l'intégration en temps : Le cadre s'adapte à divers schémas temporels en définissant un schéma OW mono-étape (Euler explicite pour les schémas explicites, Euler implicite pour les schémas implicites) pour calculer les résidus nécessaires et les flux antidiffusifs, évitant ainsi la nécessité de recalculer les solutions OW à chaque étape des méthodes multi-étapes ou multi-étages.
6. Discrétisation spatiale : Des dérivations spécifiques pour les flux antidiffusifs sont fournies pour les schémas Volumes Finis (VF), les schémas DG généraux et la méthode Spectrale Élémentaire de Galerkin Discontinu (DGSEM). Pour la DGSEM, la méthode combine une limitation basée sur les moyennes cellulaires avec un limiteur d'échelle linéaire pour garantir que les valeurs nodales satisfont également les contraintes du domaine invariant.

Contributions clés

• Généralisation aux systèmes et aux schémas implicites : La méthode étend les concepts de limitation convexe aux systèmes de lois de conservation et, de manière cruciale, s'applique aux discrétisations implicites en temps, un domaine où les approches de limitation convexe précédentes étaient restreintes aux schémas explicites.
• Limitation basée sur les flux sans états « bar » : L'approche définit des coefficients de limitation pour former des combinaisons convexes des solutions OW et OE sans recourir à des « états bar » (états intermédiaires utilisés dans certaines formulations de limitation convexe). Cela permet l'utilisation de n'importe quel flux numérique cohérent et conservateur dans le schéma OE.
• Raffinement itératif : L'introduction d'une procédure itérative permet à la solution limitée de converger vers la solution OE, récupérant ainsi la précision dans les régions régulières tout en préservant strictement les domaines invariants.
• Heuristique d'accélération : Un simple facteur d'échelle $\beta$ est proposé pour réduire considérablement le nombre d'itérations nécessaires à la convergence.
• Large applicabilité : La dérivation est présentée pour des discrétisations conservatives générales, avec des implémentations spécifiques détaillées pour les VF, les DG et la DGSEM, couplées à des intégrateurs temporels RK explicites/implicites, multistep et DG.

Résultats numériques
L'article valide la méthode par des expériences numériques sur des problèmes 1D et 2D impliquant des équations hyperboliques scalaires et les équations d'Euler compressibles :

• Problèmes de Riemann (chocs forts) : Pour les équations d'Euler compressibles, le schéma OE sans limitation échoue en raison de pressions/densités négatives. Le limiteur proposé résout avec succès les chocs forts de manière nette tout en maintenant la positivité et les bornes d'entropie pour les pas de temps explicites (ERK3) et implicites (DIRK33), même pour de grands nombres CFL (jusqu'à 10).
• Instabilité de Kelvin-Helmholtz : Dans les simulations 2D avec de grands pas de temps, le schéma OW amortit excessivement les petites échelles. Le schéma limité récupère la haute résolution du schéma OE, préservant les structures à petite échelle.
• Diffraction de choc et écoulement sur marche : Le limiteur démontre sa robustesse dans des géométries 2D complexes, maintenant l'admissibilité physique là où le schéma OE illimité échoue. Il atteint une résolution comparable à celle des schémas explicites avec de petits pas de temps, mais avec la stabilité des méthodes implicites.
• Équations scalaires : Des tests sur le transport linéaire, l'équation de Burgers et le problème KPP (flux non convexe) montrent que le limiteur élimine efficacement les oscillations parasites et impose le principe du maximum et les inégalités d'entropie.
• Convergence : Le limiteur itératif avec le facteur d'accélération $\beta=2$ converge vers la solution OE significativement plus rapidement que l'approche standard ($\beta=1$).

Signification et affirmations
Les auteurs affirment que ce travail fournit un limiteur assez général capable de traiter toute loi de conservation hyperbolique sur des maillages généraux avec un large éventail de schémas d'intégration en temps. La signification principale réside dans le comblement du fossé entre la robustesse des schémas implicites d'ordre faible et la précision des méthodes d'ordre élevé. En garantissant que le schéma numérique préserve les domaines invariants au niveau discret, la méthode permet l'utilisation de grands pas de temps dans les simulations implicites sans risque de produire des solutions non physiques (par exemple, densité négative). L'article souligne que le limiteur maintient la conservation et peut être appliqué de manière itérative pour affiner la solution, offrant un outil pratique pour des simulations robustes et d'ordre élevé de problèmes complexes de dynamique des fluides. L'article conclut en notant que les extensions futures prendront en compte le pas de temps Euler implicite linéarisé pour les problèmes d'état stationnaire.