The martingale evolution of probability measures defined via the sum-of-digits functions

Résumé technique : L'évolution martingale des mesures de probabilité définies via les fonctions de somme des chiffres

Énoncé du problème
L'article examine les propriétés de la famille de mesures de probabilité $\{\mu_t\}_{t \in \mathbb{N}}$ définies sur les entiers $\mathbb{Z}$. Pour un nombre naturel $n$, notons $s(n)$ le nombre de uns dans son développement binaire. La mesure $\mu_t(d)$ représente la densité asymptotique des nombres naturels $n$ tels que $s(n+t) - s(n) = d$. Bien qu'il soit établi que $\mu_t$ est une mesure de probabilité bien définie de moyenne nulle, le problème ouvert central motivant ce travail est la conjecture de Cusick, qui postule que $\mu_t(\mathbb{N}) > 1/2$ pour tout $t \in \mathbb{N}$. Des résultats antérieurs ont établi cette inégalité pour une densité asymptotique de $t$ égale à un, ou pour des classes spécifiques de $t$ (par exemple, ceux possédant de nombreux blocs de uns en binaire), mais une preuve structurelle complète reste insaisissable.

Méthodologie
L'auteur, Dawid Tarłowski, propose un re-indexage structurel des entiers impairs utilisant un ordre partiel spécifique $\preceq$ pour révéler une structure martingale hiérarchique sous-jacente à l'évolution de ces mesures.

1. Ordre partiel et re-indexage : L'ensemble des entiers impairs $T = 2\mathbb{N} + 1$ est muni d'un ordre partiel généré par deux applications, $L(t) = 2t - 1$ et $R(t) = 2t + 1$. Cette structure permet de considérer la suite de mesures $\mu_t$ comme des trajectoires d'un système dynamique non autonome.
2. Construction martingale via marches aléatoires arrêtées : L'article introduit une famille de mesures $P_t$ liée à $\mu_t$ par la convolution $\mu_t = \mu_1 * P_t$. L'évolution de $P_t$ est décrite en utilisant une marche aléatoire symétrique simple $S_n$ sur $\mathbb{Z}$.
   • Une bijection est établie entre l'ensemble des arbres binaires planaires complets et les temps d'arrêt bornés de la marche aléatoire.
   • Les mesures $P_t$ sont identifiées comme les lois de la marche aléatoire arrêtée à des temps spécifiques $\tau_t$ déterminés par la croissance de ces arbres.
   • Plus précisément, pour une suite de choix $w \in \{L, R\}^\mathbb{N}$, le processus $X_t = S_{\tau_{w(t)}}$ forme une martingale.
3. Dynamique de la croissance de l'arbre : L'évolution des mesures est modélisée comme la croissance d'un arbre binaire. À chaque étape, déterminée par la suite $w$, une branche de l'arbre est préservée tandis que l'autre croît pour devenir une copie de l'arbre actuel. Cette structure récursive définit la dynamique non autonome sur les paires de mesures de probabilité.

Contributions et résultats clés

• Description structurelle : L'article fournit une description structurelle transparente des mesures $\mu_t$ via la marche aléatoire arrêtée associée. Cela inclut des caractérisations explicites de leur support, de leurs symétries et de leur variance.
• Analyse de la variance : L'auteur dérive des bornes explicites pour la variance $D^2[P_w]$ des mesures associées aux mots $w$.
  • La variance est montrée comme étant monotone par rapport à l'ordre partiel : $s \preceq t \implies D^2(P_s) \leq D^2(P_t)$.
  • Les bornes inférieures sont atteintes par des mots constants (par exemple, $L^n$ ou $R^n$), donnant $2 - (1/2)^n$.
  • Les bornes supérieures sont liées au nombre de blocs dans le mot $w$, les mots alternés (par exemple, $LR, LR, \dots$) maximisant la variance.
• Comportement asymptotique :
  • Variance bornée : Si la suite de choix $w$ est éventuellement constante, la martingale converge presque sûrement. Les distributions limites sont montrées comme étant des éléments de la famille $\{\mu_t\} \cup \{\hat{\mu}_t\}$, où $\hat{\mu}_t$ est le reflet de $\mu_t$.
  • Variance non bornée : Si le nombre de blocs dans la représentation binaire de $t$ tend vers l'infini, les mesures satisfont un théorème central limite, convergeant faiblement vers la distribution normale standard (cohérent avec des résultats antérieurs d'autres auteurs).
• Symétries : L'article établit que $P_w(d) = P_w(-d)$ et $P_w(d) = P_{\leftarrow w}(d)$, où $\leftarrow w$ est le mot inversé. Cela implique que l'application de la structure de l'arbre vers la mesure n'est pas injective.

Relation avec la conjecture de Cusick
L'article reformule la conjecture de Cusick comme une propriété de la nature « préservant la médiane » de l'évolution martingale.

• L'auteur propose une affirmation généralisée : Si l'arbre croît de manière asymétrique (spécifiquement, si $P_{Lv}(\mathbb{N}) > 1/2$ et $P_{Rv}(-\mathbb{N}) > 1/2$ pour tout mot $v$), alors la conjecture de Cusick est vraie.
• Lemme 24 démontre que si l'inégalité $P_w(\mathbb{N}) > 1/2$ vaut pour tout $t$ impair (représenté par un mot $w$) commençant par une condition spécifique ($t_2=0$ en binaire), cela implique $\mu_t(\mathbb{N}) > 1/2$ pour tout $t$.
• Preuve numérique : L'article conclut par une vérification numérique. Pour les entiers impairs jusqu'à $12\,000\,001$, le minimum global de la fonction $V(t) = P_t(\mathbb{N})$ a été trouvé exactement égal à $1/2$. Les minimiseurs sont listés, montrant que l'inégalité est serrée mais jamais violée dans la plage testée.

Signification et affirmations
L'article affirme que la conjecture de Cusick est un cas particulier d'une affirmation plus générale concernant la croissance asymétrique des arbres binaires associés à la martingale. En déplaçant la perspective des propriétés arithmétiques directes de $s(n+t) - s(n)$ vers l'évolution probabiliste des marches aléatoires arrêtées sur les arbres binaires, l'auteur fournit un nouveau cadre pour analyser les mesures. L'ouvrage ne prétend pas prouver la conjecture de Cusick mais la réduit plutôt à une propriété de la dynamique de croissance de l'arbre, ce qui est soutenu par des données numériques. La signification réside dans l'unification du problème avec la théorie des martingales et les bornes structurelles explicites sur la variance et le support.