Localization for nonlocal gradient-based optimal control problems

Résumé technique : Localisation pour des problèmes de contrôle optimal non locaux basés sur le gradient

Énoncé du problème
Cet article examine des problèmes de contrôle optimal formulés dans le cadre d'un espace fonctionnel non local caractérisé par deux paramètres distincts : un paramètre fractionnaire $s \in (0, 1)$ et un paramètre d'horizon $\delta > 0$. La variable de contrôle $g$ appartient à un ensemble admissible $Z_{ad}$, tandis que la variable d'état $u$ réside dans un espace de Sobolev non local $H^{s,p,\delta}_0(\Omega-\delta; \mathbb{R}^n)$. L'état $u$ est contraint de minimiser une densité d'énergie non locale $W^{s,\delta}_g$, qui dépend du contrôle $g$. L'objectif est de minimiser un fonctionnel de coût $F(u, g)$ soumis à ces contraintes non locales.

L'étude aborde deux scénarios principaux concernant la densité d'énergie $W$ :

1. Cas convexe : L'énergie est strictement convexe, spécifiquement modélisée par un $p$-Laplacien non local (ou une énergie de Dirichlet $p$ pondérée).
2. Cas non convexe : L'énergie est polyconvexe ou quasi-convexe, satisfaisant des bornes de croissance $p$ standard. Dans ce contexte, des minimiseurs existent mais ne sont pas nécessairement uniques.

Le défi mathématique central consiste à analyser la « localisation » de ces problèmes, en démontrant comment les solutions convergent vers des problèmes de contrôle optimal classiques basés sur les équations aux dérivées partielles (EDP) lorsque la non-localité disparaît. Cela est réalisé par deux processus limites distincts :

• Faire tendre le paramètre fractionnaire $s \to 1^-$ (avec $\delta$ fixe).
• Faire tendre le paramètre d'horizon $\delta \to 0^+$ (avec $s$ fixe).

Méthodologie et cadre
Les auteurs utilisent un opérateur de gradient non local $D^s_\delta$, défini via un noyau tronqué $\rho^s_\delta$ qui généralise le gradient fractionnaire de Riesz. Cet opérateur agit sur des fonctions définies sur un domaine étendu $\Omega_\delta$ mais impose des conditions aux limites nulles sur les régions « colliers » $\Omega_\delta \setminus \Omega$ et $\Omega \setminus \Omega_{-\delta}$.

L'analyse repose sur plusieurs outils d'analyse fonctionnelle :

• Espaces de Sobolev non locaux : Les espaces $H^{s,p,\delta}$ sont définis comme l'adhérence des fonctions lisses sous une norme impliquant le gradient non local.
• Compacité et plongements : Les auteurs emploient des inégalités de Poincaré non locales (Proposition 2.5) et des résultats de plongement compact (Proposition 2.6) pour établir la bornitude des états admissibles et l'existence de sous-suites convergentes.
• Convergence $\Gamma$ : Pour traiter l'analyse asymptotique, l'article utilise la convergence $\Gamma$ des fonctionnels d'énergie. Cela garantit que la limite des minimiseurs des énergies non locales correspond à un minimiseur de l'énergie locale limite.
• Méthode directe du calcul des variations : Pour le cas non convexe, l'existence est prouvée en utilisant la méthode directe, en s'appuyant sur la semi-continuité inférieure faible des fonctionnels polyconvexes et quasi-convexes.

Résultats clés

1. Bien-posé dans le cas convexe :
   Pour l'énergie du $p$-Laplacien non local, l'ensemble des paires admissibles $(u, g)$ est convexe. Les auteurs prouvent l'existence et l'unicité d'un minimiseur pour le problème de contrôle optimal (Théorème 3.7). Cela repose sur la compacité de l'opérateur solution qui mappe le contrôle $g$ vers l'état $u$.

2. Existence dans le cas non convexe :
   Lorsque l'énergie est polyconvexe ou quasi-convexe, l'ensemble admissible est généralement non convexe, et l'unicité de l'état $u$ pour un $g$ fixe ne peut être garantie. Néanmoins, les auteurs établissent l'existence d'au moins une paire optimale $(u, g)$ (Théorème 3.12) en prouvant la bornitude de l'ensemble des états admissibles et la fermeture faible de l'ensemble des contraintes.

3. Localisation lorsque $s \to 1^-$ :
   Avec $\delta$ fixe, l'article démontre que lorsque $s \to 1^-$, les gradients non locaux convergent fortement vers le gradient classique.

   • Cas convexe : Les minimiseurs des problèmes de contrôle non locaux convergent fortement (pour les états et les gradients) et faiblement (pour les contrôles) vers le minimiseur unique du problème de contrôle local correspondant du $p$-Laplacien (Théorème 4.10). De plus, les valeurs du fonctionnel de coût convergent.
   • Cas non convexe : En raison du manque d'unicité dans l'équation d'état, une convergence complète des minimiseurs ne peut être garantie. À la place, les auteurs prouvent un résultat de « minimisation relative » (Corollaire 4.11), montrant que toute limite d'une suite de minimiseurs non locaux est un minimiseur par rapport à l'ensemble des paires localement admissibles qui peuvent être approchées par des solutions non locales.
   • Convergence forte des contrôles : Un résultat significatif est que les variables de contrôle $g_s$ convergent fortement dans $L^r$ pour tout $r \in [1, \infty)$, et non pas seulement faiblement (Théorème 4.12). Cela découle de la structure spécifique du fonctionnel de coût et du terme de régularisation.

4. Localisation lorsque $\delta \to 0^+$ :
   Avec $s$ fixe, l'article analyse la limite lorsque l'horizon $\delta \to 0^+$. Les résultats reflètent ceux obtenus pour $s \to 1^-$. Les gradients non locaux convergent vers le gradient classique, et les problèmes de contrôle optimal non locaux convergent vers leurs équivalents locaux (Théorème 4.19). De même que pour le cas $s \to 1$, une convergence forte des contrôles est établie (Théorème 4.21).

Signification et affirmations
L'article prétend être la première étude à considérer des problèmes de contrôle optimal où les contraintes d'état impliquent la minimisation d'énergies polyconvexes ou quasi-convexes, même dans le cadre local. En étendant ces résultats au cadre non local, les auteurs comblent le fossé entre la modélisation non locale moderne (telle que la péridynamique et le calcul fractionnaire) et la théorie classique du contrôle optimal.

La signification de ce travail réside dans :

• Généralisation : Aller au-delà des énergies strictement convexes pour inclure des matériaux et des modèles décrits par des énergies quasi-convexes ou polyconvexes, essentiels pour l'élasticité non linéaire.
• Double localisation : Fournir une analyse rigoureuse de la convergence via deux paramètres distincts ($s$ et $\delta$), offrant une flexibilité dans la manière dont les modèles non locaux sont approchés par des EDP locales.
• Convergence forte des contrôles : Établir une convergence forte pour les variables de contrôle, ce qui constitue un résultat plus fort que la convergence faible typique trouvée dans de nombreuses applications de la convergence $\Gamma$.

Les auteurs notent modestement que si la convergence $\Gamma$ garantit la convergence des minimiseurs, elle ne fournit pas de taux de convergence. Ils suggèrent que des travaux futurs pourraient utiliser la théorie de la régularité pour retrouver des taux de convergence. De plus, ils identifient l'étude des problèmes de contrôle avec des fonctionnels de coût non convexes (nécessitant des conditions d'optimalité du second ordre) et des limites simultanées ($s \to 1$ et $\delta \to 0$) comme des directions potentielles pour la recherche future.