Structural identifiability of partially-observed stochastic processes: from single-particle trajectories to total particle density data

Résumé technique : Identifiabilité structurelle des processus stochastiques partiellement observés

Énoncé du problème
La disponibilité croissante de données expérimentales a intensifié le besoin de calibrer des modèles stochastiques pour obtenir des insights quantitatifs. Un prérequis fondamental pour l'estimation des paramètres est l'identifiabilité structurelle : déterminer si les paramètres du modèle peuvent être récupérés de manière unique à partir de données idéalisées, sans bruit. Bien que des méthodes extensives existent pour les modèles d'équations différentielles ordinaires (EDO), il manque des méthodologies générales pour évaluer l'identifiabilité structurelle des processus stochastiques. Ce défi est exacerbé par l'aléatoire inhérent à ces processus et par la nature des données disponibles. Plus précisément, l'article traite de la façon dont l'identifiabilité dépend du régime d'observation, en distinguant les données de trajectoire de particule unique (basées sur l'individu) et les données de densité totale de particules (au niveau de la population). Pour les processus de Markov partiellement observés, le défi est aggravé par le fait que les données peuvent masquer les états internes des particules, compliquant ainsi l'inférence des paramètres.

Méthodologie
Les auteurs proposent une méthodologie novatrice pour analyser l'identifiabilité structurelle d'une classe de processus stochastiques spatio-temporels, spécifiquement les modèles à sauts de vitesse où l'état interne d'une particule évolue comme une chaîne de Markov à temps continu au sein d'un réseau d'états, chacun caractérisé par une vitesse fixe. L'étude utilise deux représentations mathématiques distinctes correspondant aux deux types de données :

1. Modèle basé sur l'individu (Trajectoires de particule unique) :

   • Les auteurs utilisent la description explicite basée sur l'individu du processus de Markov à temps continu.
   • Ils analysent la trajectoire $x(t)$ et sa dérivée $x'(t)$, qui est constante par morceaux et prend des valeurs dans l'ensemble des vitesses des états.
   • L'identifiabilité est évaluée en dérivant la distribution cumulative du temps passé dans chaque état (pour identifier les taux de commutation) et la fréquence des transitions entre les états (pour identifier les probabilités de transition).
   • Les conditions initiales (distribution de la position et de l'état) sont identifiées en analysant la distribution des points de départ et des vitesses initiales sur un nombre dénombrable infini de trajectoires.

2. Modèle au niveau de la population (Densité totale de particules) :

   • Les auteurs dérivent un système d'équations aux dérivées partielles (EDP) (une formulation de Fokker-Planck) décrivant l'évolution de la densité de particules $n_s(x,t)$ dans chaque état $s$.
   • Ils appliquent l'approche algébrique différentielle, une technique courante dans l'analyse des EDO, au système d'EDP. Cela implique d'éliminer symboliquement les variables d'état non observées ($n_1, n_2, n_3$) pour dériver des équations entrée-sortie dépendant uniquement de la densité totale observable $N(x,t)$ et des paramètres du modèle.
   • Nouvelle analyse des conditions initiales : Reconnaissant que l'algèbre différentielle standard à $t=0$ peut ne pas capturer toutes les informations d'identifiabilité (car les dérivées spatiales et temporelles peuvent être proportionnelles), les auteurs introduisent une nouvelle méthode. Ils utilisent les équations caractéristiques du système d'EDP pour construire un développement de Taylor de l'évolution de la densité autour de $t=0$. Cela permet d'identifier des combinaisons de paramètres supplémentaires liées à la condition initiale qui ne sont pas apparentes via l'élimination standard.

Résultats clés
La méthodologie est appliquée à un modèle à sauts de vitesse à trois états avec neuf paramètres (vitesses, taux de commutation et probabilités de transition).

• Données de trajectoire de particule unique :

  • Le modèle est globalement identifiable structurellement (à un renommage d'états près) lorsqu'un nombre dénombrable infini de trajectoires de particule unique infiniment longues est disponible.
  • Tous les paramètres, y compris les vitesses, les taux de commutation, les probabilités de transition et la distribution des conditions initiales, peuvent être récupérés de manière unique.

• Données de densité totale de particules :

  • En utilisant l'approche algébrique différentielle sur le système d'EDP, les auteurs dérivent des équations entrée-sortie avec des coefficients ($c_1$ à $c_8$) qui sont des fonctions des paramètres du modèle.
  • Les vitesses et les taux de commutation s'avèrent structurellement identifiables (à un renommage d'états près).
  • Cependant, les paramètres de probabilité de transition ne sont pas globalement identifiables en utilisant uniquement les coefficients entrée-sortie dérivés de l'EDP seule ; ils satisfont des équations quadratiques produisant plusieurs solutions.
  • Impact des conditions initiales : L'approche algébrique différentielle standard à $t=0$ ne produit qu'un seul coefficient identifiable ($c_9$) lié à la condition initiale, ce qui est insuffisant pour identifier les probabilités d'état initial ($a_1, a_2, a_3$).
  • Contribution du développement de Taylor : En appliquant la nouvelle méthode de développement de Taylor basée sur les équations caractéristiques, les auteurs identifient des coefficients supplémentaires ($c_{10}$ à $c_{15}$). Ces coefficients permettent d'identifier les probabilités d'état initial.
  • Identifiabilité locale : Même avec les coefficients supplémentaires du développement de Taylor, le modèle n'est que localement identifiable structurellement par rapport aux paramètres de probabilité. Cela signifie que bien que les paramètres soient identifiables de manière unique dans un petit voisinage des vraies valeurs, il existe des ensembles de paramètres distincts (modèles équivalents) qui produisent des évolutions de densité totale de particules identiques sous des conditions initiales spécifiques.

• Cas particuliers (Vitesses partagées) :

  • Si deux ou trois états partagent la même vitesse, l'identifiabilité se dégrade. Si les trois états partagent la même vitesse, seule la vitesse est identifiable ; tous les paramètres de taux et de probabilité deviennent non identifiables.
  • Si deux états partagent une vitesse, la somme de leurs taux de commutation est identifiable, mais les taux et probabilités individuels restent généralement non identifiables, même avec la méthode de développement de Taylor.

Signification et affirmations
L'article prétend fournir la première méthodologie générale pour analyser l'identifiabilité structurelle des processus stochastiques spatio-temporels, comblant le fossé entre les descriptions basées sur l'individu et les formulations d'EDP au niveau de la population.

• Dépendance au type de données : L'étude met en évidence une distinction critique : les données de trajectoire de particule unique conduisent à une identifiabilité structurelle globale, tandis que les données de densité totale de particules ne conduisent qu'à une identifiabilité locale. Cela souligne que le choix du régime d'observation expérimentale dicte fondamentalement la faisabilité d'une inférence unique des paramètres.
• Rôle des conditions initiales : Le travail démontre que les conditions initiales ont un impact significatif sur l'identifiabilité structurelle dans les modèles d'EDP. Les auteurs affirment que les approches algébriques différentielles standard sont souvent insuffisantes pour capturer les informations sur les conditions initiales dans ces contextes stochastiques et que leur méthode proposée de développement de Taylor basée sur les équations caractéristiques est nécessaire pour révéler des combinaisons de paramètres identifiables supplémentaires.
• Implications pour la conception expérimentale : L'existence de modèles structurellement équivalents (différents paramètres produisant des évolutions de densité identiques) suggère que la variation des conditions initiales pourrait servir de stratégie pratique pour améliorer l'identifiabilité des paramètres dans la conception expérimentale.
• Extension méthodologique : Les auteurs affirment que leur approche, en particulier l'utilisation d'équations caractéristiques pour les développements de Taylor, est applicable à d'autres modèles stochastiques où de telles équations peuvent être écrites en termes de paramètres du modèle, s'étendant potentiellement aux réseaux de réactions chimiques avec des composantes spatiales.

Les auteurs restent modestes concernant les applications pratiques, notant que leurs résultats caractérisent l'identifiabilité dans des contextes idéalisés et sans bruit. Ils déclarent explicitement que des travaux futurs sont nécessaires pour aborder l'identifiabilité pratique avec des données finies et bruitées, et pour étendre ces méthodes à des modèles avec des conditions initiales ou aux limites plus complexes.