Numerical characterizations for integral dependence of graded modules

Résumé technique : Caractérisations numériques de la dépendance intégrale des modules gradués

Énoncé du problème
L'objectif principal de ce travail est d'établir un nouveau critère numérique pour détecter la dépendance intégrale de modules gradués arbitraires définis sur un domaine noethérien gradué standard $A$ sur un corps $k$. Alors que la caractérisation de la dépendance intégrale via des invariants numériques a été initiée par Rees pour les idéaux, puis étendue aux idéaux dans des contextes gradués par les auteurs dans des travaux antérieurs [5, 6], cet article aborde le cas plus complexe des $A$-modules $N$-gradués $M$ de rang $e$, de type fini et sans torsion. Les auteurs visent à construire des fonctions de densité spécifiques et à les utiliser pour dériver des conditions nécessaires et suffisantes afin qu'un sous-module gradué $N \subseteq M$ soit une réduction de $M$.

Méthodologie et cadre
L'article opère dans le cadre d'un domaine gradué standard $A = \bigoplus_{m \ge 0} A_m$ de dimension $d \ge 2$ sur un corps $k$. Le module $M$ est un $A$-module de type fini, sans torsion, de rang $e$. Pour définir l'algèbre de Rees $A[Mt]$, les auteurs fixent un plongement gradué $M \hookrightarrow F$, où $F$ est un $A$-module gradué libre de rang fini. L'algèbre de Rees est définie comme l'image de l'application de l'algèbre symétrique : $A[Mt] = \bigoplus_{n \ge 0} M_n t^n \subseteq \text{Sym}_A(F)$.

La méthodologie centrale implique la construction et l'analyse de trois fonctions de densité distinctes dérivées du comportement asymptotique des longueurs des composantes graduées de $M$, de sa saturation et du quotient entre elles. Les auteurs utilisent le bigraduation naturelle sur l'algèbre de Rees $A[Mt]$, où les générateurs ont des bidegrés $(d_i, 1)$ et les éléments de $A$ ont le bidegré $(1, 0)$.

Les outils techniques clés employés incluent :

1. Analyse asymptotique des longueurs : Les auteurs analysent la fonction de longueur $\ell_k((M_n)_m)$ lorsque $n \to \infty$, en utilisant la structure de l'algèbre de Rees comme quotient d'un anneau de polynômes bigradué.
2. Quasi-polynômes et cônes : S'appuyant sur les résultats de [5], les auteurs partitionnent le domaine de la fonction de longueur en cônes $C_j$ générés par les degrés des générateurs de $M$. Au sein de ces cônes, il est démontré que la fonction de longueur se comporte comme un quasi-polynôme, qui finit par se stabiliser en un polynôme.
3. Saturation et fonctions $\epsilon$ : Les auteurs définissent la saturation de $M_n$ comme $\widetilde{M}_n = (M_n :_F \mathfrak{m}^\infty)$. Ils introduisent la fonction de densité $\epsilon$ pour mesurer la différence entre les modules saturés et adiques (originaux).
4. Interprétation géométrique : Les preuves exploitent la fonction volume des diviseurs sur les variétés projectives (spécifiquement $X = \text{Proj}_V B$ où $B$ est l'algèbre de Rees) et les théorèmes asymptotiques de Riemann-Roch pour établir la continuité et la nature polynomiale des fonctions de densité.
5. Sous-algèbres diagonales : Pour traiter les critères de dépendance intégrale, les auteurs considèrent les sous-algèbres diagonales $(c, 1)$ $A[Mt]_{\Delta(c,1)}$ et leurs extensions $S[Mt]_{\Delta(c,1)}$ où $S = A[y]$, reliant leurs multiplicités aux fonctions de densité.

Contributions et résultats clés

1. Construction de fonctions de densité :

   • Fonction de densité adique ($f_M$) : Définie comme $f_M(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ell_k((M_n)_{\lfloor xn \rfloor})}{n^{d+e-2}/(d+e-1)!}$. Le théorème 3.2 établit que $f_M$ est une fonction bien définie, polynomiale par morceaux, continue partout sauf éventuellement en $x=d_1$ (le degré minimal d'un générateur). Elle est supportée sur $[d_1, \infty)$.
   • Fonction de densité saturée ($\tilde{f}_M$) : Définie comme $\tilde{f}_M(x) = \lim_{n \to \infty} \frac{\ell_k((\widetilde{M}_n)_{\lfloor xn \rfloor})}{n^{d+e-2}/(d+e-1)!}$. Le théorème 4.3 prouve qu'il s'agit d'une fonction continue supportée sur $[-c_0, \infty)$ pour une certaine constante $c_0$. Crucialement, pour $x \ge d_M$, $\tilde{f}_M(x)$ coïncide avec $f_M(x)$ et est donnée par un polynôme impliquant les multiplicités mixtes de l'algèbre de Rees.
   • Fonction de densité $\epsilon$ ($f_\epsilon(M)$) : Définie comme la différence $f_\epsilon(M)(x) = \tilde{f}_M(x) - f_M(x)$. Le théorème 5.2 montre que cette fonction est à support compact sur $[-c_0, d_M]$ et continue sur $\mathbb{R} \setminus \{d_1\}$. L'intégrale de cette fonction, $\epsilon(M)$, est démontrée comme existant sous forme de limite, fournissant un invariant numérique mesurant le « défaut » entre le module et sa saturation.

2. Critères numériques pour la dépendance intégrale :
   L'article culmine dans le théorème 6.6, qui fournit un ensemble de conditions équivalentes pour qu'un sous-module gradué $N \subseteq M$ (avec $\text{rang } N = \text{rang } M = e$) soit une réduction de $M$. Les affirmations suivantes sont équivalentes :

   • $N$ est une réduction de $M$.
   • Les fonctions de densité adique et saturée coïncident : $f_M \equiv f_N$ et $\tilde{f}_M \equiv \tilde{f}_N$.
   • Les invariants $\epsilon$ sont égaux ($\epsilon(M) = \epsilon(N)$) et les multiplicités des sous-algèbres diagonales $(c, 1)$ sont égales pour un certain $c > d_{N,M}$.
   • Les multiplicités mixtes des algèbres de Rees $S[Mt]$ et $S[Nt]$ coïncident pour tout $0 \le i \le d$.

Portée et affirmations
L'article prétend étendre la caractérisation numérique de la dépendance intégrale du domaine des idéaux gradués (tel que traité dans [5] et [6]) au contexte plus général des modules gradués. Les auteurs notent que cette extension n'est pas triviale car, contrairement au cas des idéaux où $A^n = A$, les composantes $F^n$ du module libre varient avec $n$, et les invariants de $F^n$ ne sont pas constants.

La portée du travail réside dans :

• Généralisation : Fournir un cadre unifié pour détecter la dépendance intégrale dans les modules en utilisant des invariants asymptotiques.
• Nouveaux invariants : Introduire la fonction de densité $\epsilon$ et l'invariant associé $\epsilon(M)$ comme outil pour mesurer la différence entre un module et sa saturation dans un contexte gradué.
• Limites rigoureuses : Établir l'existence des limites pour ces fonctions de densité et l'invariant $\epsilon$ dans le cadre gradué, complétant les résultats antérieurs dans des contextes locaux [3, 20].
• Critères computationnels : Offrir des critères numériques concrets et vérifiables (impliquant les multiplicités des sous-algèbres diagonales et les multiplicités mixtes) qui sont nécessaires et suffisants pour la réduction, essentiels pour les applications algorithmiques en algèbre commutative et théorie des singularités.

Les auteurs maintiennent un ton modeste, présentant les résultats comme une extension des théories existantes pour les idéaux aux modules, en utilisant des stratégies similaires mais adaptées (telles que les bornes de régularité linéaire pour les puissances de modules) pour surmonter les différences structurelles entre les idéaux et les modules.