Automorphisms of the moduli space of smooth cubic surfaces and its fundamental group

Résumé technique : Automorphismes de l'espace de modules des surfaces cubiques lisses et de son groupe fondamental

Énoncé du problème
L'article traite de la rigidité de l'espace de modules $\mathcal{C}$ des surfaces cubiques complexes lisses, considéré comme un orbifold analytique complexe. Plus précisément, les auteurs étudient le groupe $\text{Aut}(\mathcal{C})$ des automorphismes biholomorphes de cet espace. Alors que les résultats de rigidité pour d'autres espaces de modules, tels que l'espace de modules des courbes ($M_g$) et les variétés abéliennes principalement polarisées ($A_g$), sont classiques, l'espace de modules des surfaces cubiques présente des défis uniques. Contrairement à $A_g$, qui est une variété localement symétrique (un quotient d'un domaine hermitien symétrique par un groupe arithmétique), $\mathcal{C}$ n'est pas équivalent d'homotopie à une variété localement symétrique. Le problème central est de déterminer si $\mathcal{C}$ admet des automorphismes non triviaux et, dans la négative, de l'établir par une analyse théorique des groupes de son groupe fondamental $\pi_1(\mathcal{C})$.

Méthodologie et configuration géométrique
Les auteurs utilisent la construction de l'application de période par Allcock, Carlson et Toledo [1], qui identifie $\mathcal{C}$ au complément d'un diviseur $D$ dans une variété localement symétrique $X$.

• L'espace ambiant : $X$ est une 4-variété de Picard, définie comme le quotient $X = \text{PU}(4, 1)(E) \backslash \mathbb{B}^4$, où $\mathbb{B}^4$ est la boule hyperbolique complexe de dimension 4 et $E = \mathbb{Z}[\omega]$ sont les entiers d'Eisenstein.
• Le diviseur : $D$ est un diviseur immergé totalement géodésique dans $X$, isomorphe à l'espace de modules des surfaces cubiques singulières possédant uniquement des singularités nodales.
• L'isomorphisme : Il existe un isomorphisme d'orbifolds complexes $\mathcal{C} \cong X \setminus D$.
• Suite du groupe fondamental : L'inclusion $i: \mathcal{C} \hookrightarrow X$ induit une surjection sur les groupes fondamentaux d'orbifolds $i_*: \pi_1(\mathcal{C}) \to \pi_1(X) \cong \text{PU}(4, 1)(E)$. Cela donne la suite exacte :
  $$1 \longrightarrow K \longrightarrow \pi_1(\mathcal{C}) \longrightarrow \text{PU}(4, 1)(E) \longrightarrow 1$$
  Ici, $K$ est le noyau, identifié à $\pi_1(\mathbb{B}^4 \setminus \mathcal{H})$, où $\mathcal{H}$ est l'union des relèvements de $D$ dans le revêtement universel $\mathbb{B}^4$.

La stratégie des auteurs repose sur le principe que « la théorie des groupes se souvient de la géométrie algébrique ». Ils visent à prouver que le noyau $K$ (correspondant au diviseur $D$) est un sous-groupe caractéristique de $\pi_1(\mathcal{C})$. Si $K$ est caractéristique, tout automorphisme de $\pi_1(\mathcal{C})$ préserve la structure du complément du diviseur, permettant aux auteurs de relever les automorphismes de $\mathcal{C}$ vers l'espace ambiant $X$.

Contributions et résultats clés

1. Théorème 1.2 (Rigidité théorique des groupes) :
   Le noyau $K$ de la projection $\pi_1(\mathcal{C}) \to \text{PU}(4, 1)(E)$ est un sous-groupe caractéristique de $\pi_1(\mathcal{C})$. Autrement dit, pour tout $\phi \in \text{Aut}(\pi_1(\mathcal{C}))$, $\phi(K) = K$.

   • Stratégie de preuve : La preuve implique l'analyse des générateurs de $\pi_1(\mathcal{C})$, qui sont des méridiens autour du diviseur $D$ (spécifiquement, des hexaréflexions d'ordre 6).
   • Les auteurs établissent que le groupe de monodromie $P\Gamma_4$ est engendré par ces hexaréflexions.
   • En utilisant l'algèbre computationnelle (Magma), ils montrent que l'homomorphisme du groupe d'Artin $A(\tilde{E}_6)$ (qui se surjecte sur $\pi_1(\mathcal{C})$) vers le groupe de Weyl $W(E_6)$ est unique à automorphismes intérieurs près.
   • Ils démontrent que tout automorphisme de $\pi_1(\mathcal{C})$ doit mapper les générateurs (méridiens) vers des éléments qui sont elliptiques dans $P\Gamma_4$ et possèdent des propriétés d'ordre spécifiques (divisant 6).
   • Crucialement, ils prouvent que l'image de tout tel automorphisme appliqué aux générateurs du noyau doit se trouver dans $K$, établissant ainsi que $K$ est invariant sous tous les automorphismes du groupe.

2. Théorème 1.1 (Rigidité géométrique) :
   Le groupe $\text{Aut}(\mathcal{C})$ des automorphismes biholomorphes de l'espace de modules des surfaces cubiques complexes lisses est trivial.

   • Stratégie de preuve :
     • Soit $f \in \text{Aut}(\mathcal{C})$. Cela induit un automorphisme extérieur $\phi$ de $\pi_1(\mathcal{C})$.
     • Par le théorème 1.2, $\phi(K) = K$. Par conséquent, $f$ se relève en un automorphisme biholomorphe $\tilde{f}$ de l'espace de revêtement $\mathbb{B}^4 \setminus \mathcal{H}$.
     • Puisque $\tilde{f}$ est une application holomorphe bornée dans $\mathbb{C}^4$ et que l'ensemble singulier $\mathcal{H}$ est un sous-ensemble analytique nulle part dense, le théorème de prolongement de Riemann permet à $\tilde{f}$ de se prolonger en une application holomorphe $\hat{f}: \mathbb{B}^4 \to \mathbb{C}^4$.
     • Par continuité et le théorème de l'application ouverte, $\hat{f}$ envoie $\mathbb{B}^4$ dans lui-même, impliquant $\hat{f} \in \text{Aut}(\mathbb{B}^4) = \text{PU}(4, 1)$.
     • L'application relevée $\hat{f}$ normalise le réseau $P\Gamma_4$.
     • Par le corollaire 2.3 (dérivé de la rigidité de Mostow–Prasad et de la maximalité du réseau), l'orbifold $X$ n'admet aucun automorphisme holomorphe non trivial.
     • Par conséquent, l'automorphisme induit sur $X$ est trivial, impliquant que $f$ est trivial.

Portée et affirmations
L'article prétend démontrer que la structure théorique des groupes de $\pi_1(\mathcal{C})$ « se souvient » du diviseur géométrique $D$ des surfaces cubiques nodales. Cela permet aux auteurs de contourner l'absence de symétrie locale dans $\mathcal{C}$ lui-même en exploitant la rigidité de la variété localement symétrique ambiante $X$.

Les auteurs positionnent leur résultat comme un complément aux théorèmes classiques de rigidité pour $M_g$ et $A_g$. Ils notent que si la stratégie pour $A_g$ repose sur le fait que l'espace est une variété localement symétrique, la stratégie pour $\mathcal{C}$ nécessite de prouver que les automorphismes du complément « se souviennent » du diviseur. L'article indique explicitement que cela n'est pas vrai pour les compléments de diviseurs généraux (fournissant un contre-exemple avec une courbe de genre 2), rendant les propriétés spécifiques de l'espace de modules des surfaces cubiques essentielles.

Les auteurs reconnaissent également une approche alternative utilisant le « diviseur d'Eckardt » (paramétrant les surfaces avec des points d'Eckardt), qu'ils notent avoir été suggérée par Curt McMullen. Cependant, ils soutiennent que leur approche principale via le diviseur nodal est supérieure car elle produit un résultat théorique des groupes plus fort (Théorème 1.2) concernant le caractère caractéristique du noyau, tandis que l'approche d'Eckardt repose sur des propriétés géométriques spécifiques de ce diviseur qui pourraient ne pas se généraliser aussi facilement.

Limites et perspectives futures
L'article présente modestement ses résultats dans le cadre d'un programme plus vaste d'étude de la rigidité pour les compléments de diviseurs de variétés localement symétriques. Il note que si leurs méthodes, combinées à la superrigidité de Margulis, peuvent classifier les automorphismes pour les cas de type IV, le cas du quotient de boule (comme dans cet article) repose sur la nature particulière des auto-intersections du diviseur $D$. Les auteurs posent des questions ouvertes concernant le groupe d'automorphismes extérieurs $\text{Out}(\pi_1(\mathcal{C}))$ et le commensurateur abstrait, suggérant que ceux-ci restent à résoudre pleinement.