Rationality problem for norm one tori of tensor products of étale algebras and Hasse norm principle

Résumé technique : Rationalité des tores de norme un des produits tensoriels d'algèbres étalées et le principe de norme de Hasse

1. Énoncé du problème
L'article aborde deux problèmes interconnectés en géométrie arithmétique des tores algébriques sur un corps $k$ :

1. Le problème de rationalité : Étant donné deux tores algébriques $k$-toriques $T_1$ et $T_2$ possédant une propriété de rationalité spécifique $P$ (telle que la $k$-rationalité stable ou la $k$-rationalité rétracte), leur produit tensoriel $T_1 \otimes_k T_2$ possède-t-il également la propriété $P$ ? Plus précisément, les auteurs étudient le tore de norme un $T_{A \otimes B} = R^{(1)}_{A \otimes B/k}(\mathbb{G}_m)$ associé au produit tensoriel de deux algèbres étalées $k$-algébriques $A$ et $B$.
2. Le principe de norme de Hasse : Pour les corps globaux $k$, le principe de norme de Hasse vaut-il pour l'extension de corps $K/k$ (ou l'algèbre étalée $A/k$) construite comme un produit tensoriel d'extensions de degrés premiers entre eux ?

Bien que la réponse générale à la question de rationalité soit négative, les auteurs identifient des conditions spécifiques selon lesquelles la propriété est préservée, générant ainsi de nouveaux exemples de tores stables et rétractes rationnels et établissant la validité du principe de norme de Hasse pour ces cas.

2. Méthodologie
Les auteurs emploient une approche constructive basée sur la cohomologie des groupes finis et la théorie des $G$-réseaux (où $G$ est le groupe de Galois du corps de décomposition). La méthodologie centrale implique :

• Résolutions flasques : En utilisant la correspondance entre les tores algébriques et les $G$-réseaux, la rationalité d'un tore $T$ est déterminée par la « classe flasque » $[M]_{fl}$ de son module de caractères $M$. $T$ est stablement rationnel si $[M]_{fl} = 0$ et rétracte rationnel si $[M]_{fl}$ est inversible.
• Ordre de permutation ($p$-ord) : L'article introduit un nouvel invariant pour un $G$-réseau $M$, noté $p\text{-ord}(M)$. Il est défini comme le plus petit entier $a \geq 1$ tel que $a \cdot \text{Id}_M$ se factorise à travers un $G$-réseau de permutation. Cet invariant sert de mesure de l'écart d'un réseau par rapport à être un facteur direct d'un réseau de permutation.
• Produits tensoriels d'extensions : Les auteurs développent des outils cohomologiques explicites pour traiter les produits tensoriels d'extensions de $G$-réseaux. En analysant les suites exactes associées aux applications d'augmentation (par exemple, $0 \to I_X \to \mathbb{Z}[X] \to \mathbb{Z} \to 0$), ils construisent des résolutions pour les produits tensoriels de réseaux.
• Conditions de primalité : Le mécanisme technique central repose sur la condition selon laquelle les ordres de permutation des modules de caractères des tores constituants sont premiers entre eux. Cela permet la scission de certaines suites exactes impliquant des produits tensoriels, garantissant que la classe flasque du produit se comporte de manière prévisible.

3. Contributions et résultats clés

• Théorème principal sur la rationalité des tores (Théorème 6.15) :
  Soient $T_1$ et $T_2$ des tores algébriques $k$-toriques avec des modules de caractères $M_1$ et $M_2$. Si les ordres de permutation $d_1 = p\text{-ord}(M_1)$ et $d_2 = p\text{-ord}(M_2)$ satisfont $\gcd(d_1, d_2) = 1$, alors :

  • Si $T_1$ et $T_2$ sont stablement $k$-rationnels, alors $T_1 \otimes_k T_2$ est stablement $k$-rationnel.
  • Si $T_1$ et $T_2$ sont rétractes $k$-rationnels, alors $T_1 \otimes_k T_2$ est rétracte $k$-rationnel.

• Application aux tores de norme un (Théorème 7.4) :
  Soient $A = \prod K_i$ et $B = \prod E_j$ des algèbres étalées $k$-algébriques de degrés $m_i = [K_i:k]$ et $n_j = [E_j:k]$. Si $\gcd(m_i, n_j) = 1$ pour tous $i, j$, et si les tores de norme un $T_A$ et $T_B$ sont stables (resp. rétractes) $k$-rationnels, alors :

  • Le tore algébrique $T_A \otimes_k T_B$ est stable (resp. rétracte) $k$-rationnel.
  • Le tore de norme un $T_{A \otimes B}$ de l'algèbre produit tensoriel est stable (resp. rétracte) $k$-rationnel.
  • Dans le cas spécifique où $A$ et $B$ sont des extensions de corps de degrés premiers entre eux, $A \otimes_k B$ est une extension de corps, et son tore de norme un hérite de la propriété de rationalité.

• Principe de norme de Hasse (Théorème 8.1 et corollaires) :
  Pour un corps global $k$, si $K = K_1 \otimes_k \cdots \otimes_k K_t$ est une composée d'extensions séparables finies avec des degrés deux à deux premiers entre eux $[K_i:k]$, et si les tores de norme un individuels $T_{K_i}$ sont stables ou rétractes rationnels, alors :

  • Le principe de norme de Hasse vaut pour $K/k$.
  • La propriété d'approximation faible vaut pour $T_K$.
  • Cela découle de l'annulation du groupe de Brauer non ramifié (ou de manière équivalente, de l'annulation du groupe de Shafarevich-Tate) pour le tore résultant, ce qui suit des résultats de rationalité.

• Classifications explicites (Sections 8.1–8.3) :
  Les auteurs fournissent des tableaux détaillés classifiant les groupes de Galois $G = \text{Gal}(L/k)$ pour lesquels le tore de norme un d'une extension composée $K/k$ (de degré $n \leq 30$) est stable ou rétracte rationnel. Ceux-ci incluent des cas où $G$ est un sous-produit direct de groupes associés aux extensions individuelles (par exemple, $G \leq S_{n_1} \times S_{n_2}$). Ils listent explicitement les cas pour $n=6, 10, 12, 14, 15$ et étendent la classification à $18 \leq n \leq 30$.

4. Signification et affirmations
L'article prétend fournir une méthode systématique pour générer de nouveaux exemples de tores de norme un stables et rétractes rationnels en combinant des existants via des produits tensoriels, à condition que leurs degrés (ou plus précisément, leurs ordres de permutation) soient premiers entre eux.

• Nouveauté de l'invariant : L'introduction de l'« ordre de permutation » $p\text{-ord}(M)$ est mise en avant comme un outil systématique qui n'avait pas été étudié précédemment dans ce contexte, permettant un critère précis (la primalité) pour la préservation de la rationalité sous les produits tensoriels.
• Preuves constructives : Les preuves sont décrites comme constructives, reposant sur des manipulations explicites de résolutions flasques de $G$-réseaux plutôt que sur des arguments d'existence abstraits.
• Implications arithmétiques : Les résultats relient directement la propriété géométrique de rationalité au principe arithmétique de norme de Hasse. En établissant la rationalité pour les extensions composées de degrés premiers entre eux, les auteurs confirment le principe de norme de Hasse pour ces extensions de corps spécifiques sur les corps globaux.
• Limites : Les auteurs notent que la condition de primalité est nécessaire ; ils fournissent des exemples (Exemple 7.6) où le produit tensoriel de deux tores stables rationnels échoue à être rétracte rationnel si les degrés partagent un facteur commun. Ils reconnaissent également que le problème général de la $k$-rationalité (par opposition à la rationalité stable ou rétracte) pour les produits tensoriels avec $r \geq 3$ reste ouvert.

En résumé, l'article établit un cadre robuste pour comprendre le comportement des propriétés de rationalité sous les produits tensoriels de tores algébriques, exploitant spécifiquement la primalité des degrés pour assurer la préservation de ces propriétés et la validité du principe de norme de Hasse pour les extensions de corps résultantes.