Multiplicative independence in the sequence of $k$-generalized Pell numbers

Résumé technique : Indépendance multiplicative dans la suite des nombres de Pell généralisés à k termes

Énoncé du problème
Ce papier examine la dépendance multiplicative entre les termes de la suite de Pell généralisée à k termes, notée $(P^{(k)}_n)_{n \ge 2-k}$. La suite est définie par la récurrence linéaire :
$$P^{(k)}_n = 2P^{(k)}_{n-1} + P^{(k)}_{n-2} + \dots + P^{(k)}_{n-k}$$
avec les conditions initiales $P^{(k)}_0 = \dots = P^{(k)}_{-(k-2)} = 0$ et $P^{(k)}_1 = 1$. Pour $k=2$, cela se réduit à la suite de Pell classique.

L'objectif central est de déterminer tous les couples d'indices $(m, n)$ avec $n > m \ge 0$ et les entiers $k \ge 2$ tels que les termes $P^{(k)}_n$ et $P^{(k)}_m$ soient multiplicativement dépendants. Deux entiers non nuls $a$ et $b$ sont multiplicativement dépendants s'il existe des entiers non nuls $x, y$ tels que $a^x = b^y$. Les auteurs visent à résoudre l'équation diophantienne :
$$(P^{(k)}_n)^x = (P^{(k)}_m)^y$$
en excluant les cas triviaux où les termes valent 1 ou où la dépendance provient uniquement du segment initial de la suite où les termes sont des puissances de deux.

Méthodologie
La stratégie de preuve suit le cadre établi utilisé pour les nombres de Fibonacci et de Lucas généralisés à k termes, combinant la théorie analytique des nombres avec une vérification computationnelle. La méthodologie se déroule en trois étapes principales :

1. Approximation analytique et formes linéaires en logarithmes :
   Les auteurs utilisent une formule de type Binet pour $P^{(k)}_n$, qui exprime le terme comme $P^{(k)}_n = g_k(\alpha)\alpha^n + e_n$, où $\alpha$ est la racine dominante du polynôme caractéristique $\Psi_k(x) = x^k - 2x^{k-1} - \dots - 1$, et $g_k(\alpha)$ est une fonction algébrique spécifique.
   En substituant cela dans l'équation de dépendance multiplicative, le problème est transformé en la majoration d'une forme linéaire en logarithmes :
   $$\Lambda = (y-x)\log g_k(\alpha) + (nx - my)\log \alpha$$
   En utilisant le théorème de Matveev sur les bornes inférieures pour les formes linéaires en logarithmes, les auteurs déduisent une borne supérieure polynomiale pour l'indice $n$ en fonction de $k$. Plus précisément, pour $k \ge 3$ et $n > m \ge k+1$, ils établissent :
   $$n < 6.2 \times 10^{33} k^8 (\log k)^6$$

2. Réduction via l'algorithme de Baker-Davenport :
   La borne initiale déduite du théorème de Matveev est trop grande pour un calcul direct. Pour la réduire, les auteurs emploient la méthode de réduction de Baker-Davenport (spécifiquement la version de Dujella et Pethő). Cela implique d'analyser le développement en fraction continue du rapport $\tau_k = \frac{\log g_k(\alpha)}{\log \alpha}$.
   En exploitant les propriétés des convergents et le lemme de Dujella-Pethő, les auteurs réduisent la borne supérieure pour $n$ à une constante gérable indépendante de $k$ pour la plage $k \le 850$. Spécifiquement, la borne est réduite à $n \le 218$ (conservativement prise comme $n < 300$ pour plus de sécurité).

3. Séparation des cas et analyse asymptotique :
   Le problème est divisé en deux régimes basés sur la valeur de $k$ :

   • Petit $k$ ($k \le 850$) : Avec la borne réduite $n < 300$, les auteurs effectuent une recherche informatique exhaustive sur toutes les combinaisons valides de $k, m, n, x, y$.
   • Grand $k$ ($k > 850$) : Pour cette plage, les auteurs utilisent un argument asymptotique. Ils exploitent le fait que pour un grand $k$, la racine dominante $\alpha$ est extrêmement proche de 2, et que $P^{(k)}_n \approx 2^{n-1}$. En développant les termes au second ordre (en utilisant le développement de Cooper-Howard), ils montrent que l'équation $(P^{(k)}_n)^x = (P^{(k)}_m)^y$ implique $x=y$ et ensuite $n=m$, ce qui contredit l'hypothèse $n > m$. Ainsi, aucune solution n'existe pour $k > 850$.

Contributions et résultats clés
Le papier fournit une classification complète des couples multiplicativement dépendants dans la suite de Pell généralisée à k termes. Le résultat principal, Théorème 1.1, stipule que pour $k \ge 2$ et $n > m \ge 2$, les termes $P^{(k)}_n$ et $P^{(k)}_m$ sont multiplicativement dépendants si et seulement si :

1. Cas trivial : $m=1$ (puisque $P^{(k)}_1 = 1$).
2. Familles de puissances de deux : $2 \le m < n \le k+1$. Dans ce segment initial, $P^{(k)}_n = 2^{n-1}$ et $P^{(k)}_m = 2^{m-1}$, conduisant à des dépendances de la forme $(2^{n-1})^x = (2^{m-1})^y$.
3. Cas classique exceptionnel : $(k, n, m) = (2, 3, 0)$. Ici, $P^{(2)}_3 = 2$ et $P^{(2)}_0 = 0$. (Note : le résumé mentionne $P^{(k)}_0=0$ comme un cas trivial dans le contexte de l'équation, bien que strictement parlant, $0^x=0$ nécessite une manipulation prudente ; le papier liste ceci comme la seule solution non triviale impliquant la suite de Pell classique en dehors de la plage des puissances de deux).

Les auteurs déclarent explicitement qu'aucune autre paire multiplicativement dépendante n'existe. Pour $k \ge 3$, les seules dépendances non triviales se produisent strictement au sein du segment initial où les termes sont des puissances exactes de deux.

Signification
Le papier étend l'étude de la dépendance multiplicative des suites classiques (Fibonacci, Lucas) et des suites de Fibonacci/Lucas généralisées à k termes à la suite de Pell généralisée à k termes. Il démontre que les propriétés structurelles de la suite de Pell (spécifiquement le comportement de sa racine dominante et le segment initial de puissances de deux) conduisent à une classification similaire des solutions. Le travail confirme que la « richesse » des solutions trouvées dans d'autres suites ne s'étend pas à la suite de Pell au-delà des segments initiaux triviaux et du cas classique spécifique. La preuve combine rigoureusement des outils théoriques profonds (bornes de Matveev, réduction de Baker-Davenport) avec une vérification computationnelle pour clore le problème pour tout $k$.