On some constancy of Hecke eigensystems for Drinfeld cuspforms of level $\Gamma_1(\mathfrak{n}\wp^r)$

Résumé technique : Constance des systèmes propres de Hecke pour les formes modulaires de Drinfeld

Énoncé du problème
L'article étudie le comportement des systèmes propres de Hecke dans l'espace des formes de cusp de Drinfeld, en se concentrant spécifiquement sur la manière dont ces systèmes varient lorsque le niveau des formes modulaires augmente. Dans la théorie classique des formes modulaires elliptiques, les systèmes propres de Hecke de pente $p$-adique finie sont connus pour varier dans des familles analytiques $p$-adiques lorsque le poids et la valuation $p$-adique du niveau changent. L'auteur oppose cela au cadre de Drinfeld, où des travaux antérieurs (spécifiquement [Hat2]) ont démontré une « trivialité » inattendue de l'action de Hecke sur la partie $t$-ordinaire des formes de cusp de niveau $\Gamma_1(t^r)$. Le problème central abordé ici est de généraliser ce phénomène à la partie de pente $\wp$-adique finie pour des niveaux plus généraux de la forme $\Gamma_1(n\wp^r)$, où $n$ est un élément non nul de l'anneau de polynômes $A = \mathbb{F}_q[t]$, $\wp$ est un polynôme irréductible unitaire, et $r \geq 1$. La question spécifique est de savoir si les systèmes propres de Hecke de pente $\wp$-adique finie apparaissant dans des niveaux supérieurs $\Gamma_1(n\wp^r)$ ne sont que des répétitions de ceux trouvés au niveau de base $\Gamma_1(n\wp)$.

Méthodologie
L'auteur emploie une approche combinatoire des formes modulaires de Drinfeld, utilisant la description des formes de cusp via des cocycles harmoniques sur l'arbre de Bruhat–Tits $T$ pour $SL_2(K_\infty)$, suivant les travaux de Teitelbaum [Tei] et Böckle [Böc].

1. Cadre combinatoire : L'espace des formes de cusp de Drinfeld $S_k(\Gamma)$ est identifié à l'espace des cocycles harmoniques $\text{Char}_k(\Gamma)$, qui est à son tour isomorphe à un produit tensoriel impliquant le module de Steinberg et un espace de polynômes homogènes. Cela permet de traduire le problème dans le langage des modules de groupes sur le sous-groupe de congruence $\Gamma$.
2. Opérateurs diamants et anneaux de groupes : L'article analyse l'action du groupe $\Theta_r = 1 + \wp(A/\wp^r A)$, un $p$-groupe commutatif, sur l'espace des formes de cusp via les opérateurs diamant. L'espace $S_k(\Gamma_1(n\wp^r))$ est considéré comme un module sur l'anneau de groupe $C_\infty[\Theta_r]$.
3. Liberté des modules : Une étape technique critique consiste à prouver que $S_k(\Gamma_1(n\wp^r))$ est un module libre de rang fini sur l'anneau local $C_\infty[\Theta_r]$. Cela repose sur le fait que $C_\infty$ est de caractéristique $p$, ce qui fait de $C_\infty[\Theta_r]$ un anneau local où les modules projectifs sont libres. La preuve utilise la suite exacte reliant le module de Steinberg au complexe de chaînes de l'arbre et la liberté des modules induits.
4. Isomorphisme des parties de pente finie : L'auteur établit un isomorphisme équivariant pour Hecke entre les parties de pente $\wp$-adique finie des espaces de formes de cusp aux niveaux $\Gamma_1(n\wp)$ et $\Gamma_1^\wp(n, \wp^r)$ (un niveau intermédiaire spécifique). Cela est réalisé en construisant une application entre les espaces et en montrant que le conoyau s'annule pour les valeurs propres non nulles de l'opérateur $U_\wp$.

Contributions et résultats clés
Le résultat principal est le Théorème 1.1, qui établit une « constance » des systèmes propres de Hecke pour les formes de cusp de Drinfeld lorsque le niveau augmente. Plus précisément :

• Formule de multiplicité : Pour toute valeur propre non nulle $\alpha$ de l'opérateur $U_\wp$ et toute pente $a$, la multiplicité de $\alpha$ (ou la dimension du sous-espace de pente $a$) dans $S_k(\Gamma_1(n\wp^r))$ est exactement $q^{(r-1)\deg(\wp)}$ fois la multiplicité dans $S_k(\Gamma_1(n\wp))$.
  $$m(\Gamma_1(n\wp^r), k, \wp, \alpha) = q^{(r-1)\deg(\wp)} m(\Gamma_1(n\wp), k, \wp, \alpha)$$
• Constance des systèmes propres : Un système propre de Hecke $\lambda = (\lambda_Q)_{Q \in \Pi}$ avec $\lambda_\wp \neq 0$ apparaît dans l'espace $S_k(\Gamma_1(n\wp^r))$ si et seulement s'il apparaît dans $S_k(\Gamma_1(n\wp))$.

Ce résultat implique que l'ensemble des valeurs propres non nulles de $U_\wp$ et l'ensemble des pentes finies ne changent pas lorsque l'exposant $r$ du niveau augmente ; ils ne font que se multiplier en multiplicité.

Signification et affirmations
L'article affirme que ce résultat met en lumière un « contraste frappant » avec la théorie des formes modulaires elliptiques. Dans le cas elliptique, faire varier le niveau produit généralement des familles analytiques $p$-adiques de formes propres. Dans le cas de Drinfeld, comme le démontre ce théorème, faire varier le niveau (spécifiquement la puissance de $\wp$) ne produit que des « familles constantes » de systèmes propres de Hecke. Bien que l'auteur reconnaisse que des familles continues $\wp$-adiques de formes propres de Drinfeld existent lorsque l'on fait varier le poids (citant [Hat1]), la variation du niveau dans ce contexte ne génère pas de nouveaux systèmes propres mais réplique plutôt ceux existants avec une multiplicité accrue.

L'œuvre généralise les résultats précédents de l'auteur sur la partie $t$-ordinaire (où l'action était triviale) au contexte plus large de la pente finie, suggérant une rigidité fondamentale dans l'arithmétique des formes modulaires de Drinfeld concernant la variation du niveau. La preuve repose fortement sur les propriétés structurelles de l'anneau de groupe $C_\infty[\Theta_r]$ et sur la description combinatoire des formes de cusp, évitant ainsi le besoin de familles analytiques $p$-adiques dans la variable du niveau.