Split-prime supercongruence at the mixed CM point (1/6, 1/3; 1)

Résumé technique : Surcongruence à facteur premier mixte au point CM mixte

Énoncé du problème
L'article étudie les propriétés arithmétiques de la suite d'entiers $A^{\text{mix}}_n$, définie par l'extraction de coefficient :
$$A^{\text{mix}}_n := 108^n [z^n] \, {}_2F_1\left(\frac{1}{6}, \frac{1}{3}; 1; z\right)^3.$$
Le problème central est d'établir des surcongruences de la forme $A^{\text{mix}}_{mp} \equiv A^{\text{mix}}_m \pmod{p^k}$ pour les nombres premiers $p$. Plus précisément, l'auteur se concentre sur le point CM « mixte » $(1/6, 1/3; 1)$, qui correspond à la courbe elliptique $j=0$. La prédiction générique du cadre de Roberts–Rodriguez Villegas pour les motifs hypergéométriques de poids 3 suggère un exposant de congruence de $k=3$. L'article cherche à déterminer si la nature CM spécifique de ce point engendre une congruence plus forte (une « amélioration ») et à caractériser le comportement de la suite aux nombres premiers inertiels ($p \equiv 2 \pmod 3$).

Méthodologie
La démonstration procède par une réalisation modulaire de la suite sur la courbe modulaire $X_0(3)$, en utilisant le cadre technique suivant :

1. Réalisation modulaire et chute d'ordre :
   La suite est réalisée via la formule d'inversion de Lagrange–Bürmann. La fonction génératrice est exprimée en termes de formes modulaires sur $\Gamma_0(3)$. Une insight structurelle clé est une « chute d'ordre » dans la relation de récurrence : la récurrence de Mao–Tian d'ordre trois pour le cube de la fonction hypergéométrique se factorise en $(S-108)L(2)$, réduisant le problème à une récurrence d'ordre deux. Cela permet d'écrire la suite sous la forme $A^{\text{mix}}_m = [q^m] C_{\text{mix}}(q) H_{\text{mix}}(q)^m$, où $C_{\text{mix}}$ est une combinaison linéaire spécifique de séries d'Eisenstein de poids 5 et $H_{\text{mix}}$ est un noyau modulaire.

2. Réduction Katz–Dwork :
   La surcongruence est réduite à une congruence scalaire impliquant l'opérateur de Cartier $\Lambda_p$. En utilisant le défaut de Frobenius $U_p = \log(t(q)^p/t(qp))$, le problème est transformé en la preuve de trois identités :
   $$\Lambda_p(C_{\text{mix}} U_p^\ell) \equiv 0 \pmod{p^4}, \quad \ell = 1, 2, 3.$$
   Ici, $C_{\text{mix}} = C_0 - 27 u C_0$, où $C_0$ et $u C_0$ correspondent à deux droites d'Eisenstein distinctes.

3. Estimation des pôles de Witt–Cartier au point de la pile modérée :
   L'apport technique central est une analyse locale au point elliptique $P_-$ (où $j=0$ et $u=-1/27$). L'auteur travaille sur la pile quotient modérée $[\text{Spf } \mathbb{Z}_p[\zeta_3][[r]]/\mu_3]$.

   • $\mu_3$-équivariance : Pour les nombres premiers décomposés ($p \equiv 1 \pmod 3$), le relèvement canonique de Frobenius $\Phi$ est $\mu_3$-équivariant. Cela force l'indice de résidu $K$ dans la formule trace-résidu à satisfaire $K \equiv 1 \pmod 3$.
   • Majoration des pôles : Cette condition de congruence exclut les résidus $K=2$ et $K=3$, forçant le premier pôle non nul à se situer en $K \ge 4$. Cette estimation de « longueur trois » produit un facteur supplémentaire de $p$, rehaussant la borne de $p^3$ à $p^4$.

4. Entrelacement Atkin–Lehner :
   Pour gérer la combinaison mixte $C_{\text{mix}}$, l'auteur utilise une identité de pont dérivée de l'involution d'Atkin–Lehner $w_3$. La relation d'entrelacement $T_p w_3^* = \chi_3(p) w_3^* T_p$ permet l'annulation des deux composantes d'Eisenstein ($C_0$ et $uC_0$) aux nombres premiers décomposés ($\chi_3(p)=1$), garantissant que les identités de Cartier mixtes tiennent inconditionnellement.

Contributions et résultats clés

• Théorème principal (Nombres premiers décomposés) : Pour tout nombre premier décomposé $p \ge 7$ ($p \equiv 1 \pmod 3$) et tout $m \ge 1$ :
  $$A^{\text{mix}}_{mp} \equiv A^{\text{mix}}_m \pmod{p^4}.$$
  Ce résultat est inconditionnel. L'exposant 4 dépasse la prédiction générique de l'écart de Hodge de poids 3, qui est de 3. L'article attribue cette « amélioration CM » à la courbe elliptique $j=0$ et à la $\mu_3$-équivariance spécifique du relèvement de Frobenius au point de la pile modérée.

• Obstruction pour les nombres premiers inertiels : Pour les nombres premiers inertiels $p \ge 5$ ($p \equiv 2 \pmod 3$), la surcongruence de type décomposé échoue.

  • Obstruction par paramètre formel : La congruence $\Lambda_p(C_{\text{mix}} H_{\text{mix}}^p) \equiv C_{\text{mix}} H_{\text{mix}} \pmod{p^4}$ ne peut pas tenir.
  • Loi de parité des coefficients : La suite satisfait une loi de parité spécifique modulo $p$ :
    $$A^{\text{mix}}_{mp^r} \equiv A^{(\chi_3(p)^r)}_m \pmod p,$$
    où $A^{(\varepsilon)}_m$ correspond à la branche d'Eisenstein de signe $\varepsilon$. Spécifiquement, pour les nombres premiers inertiels, une étape de Frobenius échange les deux branches d'Eisenstein, et deux étapes ramènent à l'originale. Par conséquent, $A^{\text{mix}}_p \equiv 72 \pmod p$, tandis que $A^{\text{mix}}_1 = 18$, démontrant l'échec de la congruence même modulo $p$.

• Vérification computationnelle : L'article inclut des vérifications computationnelles étendues dans SageMath pour les nombres premiers jusqu'à 97, vérifiant la fermeture des identités de Cartier, les annulations scalaires de pont et les prédictions d'obstruction inertielle.

Signification et affirmations
L'article affirme que pour la suite sous cette forme exacte, la surcongruence $p^4$ aux nombres premiers décomposés est un résultat nouveau. La signification réside dans :

1. L'exposant : La preuve d'un exposant de 4, qui est un de plus que la prédiction générique de poids 3, et l'identification du mécanisme (l'amélioration CM $j=0$) responsable de ce gain.
2. Le mécanisme : Fournir une explication détaillée au niveau de la pile locale pour le chiffre supplémentaire via l'estimation des pôles de Witt–Cartier $\mu_3$-équivariante, qui force l'indice de résidu à sauter $K=2,3$.
3. La dichotomie : Établir un contraste net entre les nombres premiers décomposés et inertiels, où ces derniers exhibent un comportement d'« échange de branche » plutôt qu'une surcongruence.
4. Rigueur méthodologique : La preuve est inconditionnelle et repose sur une synthèse de la théorie de Katz des sous-groupes canoniques, des formes modulaires sur $\Gamma_0(3)$ et de l'analyse locale au niveau des piles, évitant de s'appuyer sur des conjectures non prouvées concernant la congruence de Dwork pour le théorème principal.

L'auteur note que si la congruence du premier chiffre $A^{\text{mix}}_p \equiv 18 \pmod{p^3}$ découle de résultats connus (via l'identité de Clausen et les travaux de Beukers), le renforcement vers $p^4$ pour tout $m \ge 1$ et l'obstruction explicite pour les nombres premiers inertiels sont des contributions nouvelles de ce travail.