On the non-stationary Navier-Stokes flows and reiterated homogenization

Résumé technique : Sur les écoulements de type Navier-Stokes non stationnaires et l'homogénéisation réitérée

Énoncé du problème
Cet article étudie l'homogénéisation réitérée déterministe des équations de type Navier-Stokes non stationnaires (dépendantes du temps) définies sur un domaine borné fixe $\Omega \subset \mathbb{R}^N$ (spécifiquement $N=2$) sur un intervalle de temps $]0, T[$. Les équations régissant le phénomène décrivent un écoulement de fluide dont les coefficients de viscosité varient périodiquement de manière rapide. L'échelle spécifique de ces coefficients implique deux échelles microscopiques distinctes, $\varepsilon$ et $\varepsilon^2$, conduisant à la définition :
$$a^\varepsilon_{ij}(x) = a_{ij}\left(\frac{x}{\varepsilon}, \frac{x}{\varepsilon^2}\right)$$
où $a_{ij}$ sont des fonctions continues, bornées, symétriques et uniformément elliptiques définies sur le produit de deux cellules de périodicité, $Y \times Z$. L'étude se concentre sur le problème aux limites de Cauchy-Dirichlet pour la vitesse $u^\varepsilon$ et la pression $p^\varepsilon$, caractérisé par l'équation :
$$\frac{\partial u^\varepsilon}{\partial t} + P^\varepsilon u^\varepsilon + \sum_{j=1}^N u^\varepsilon_j \frac{\partial u^\varepsilon}{\partial x_j} + \nabla p^\varepsilon = f, \quad \text{div } u^\varepsilon = 0$$
avec des conditions initiales et aux limites nulles. L'objectif principal est de déterminer le comportement macroscopique de la solution $(u^\varepsilon, p^\varepsilon)$ lorsque le paramètre $\varepsilon \to 0$.

Méthodologie
L'analyse repose sur la méthode de la convergence à deux échelles réitérée, une extension de la technique standard de convergence à deux échelles conçue pour gérer plusieurs échelles d'oscillation. La méthodologie procède selon les étapes suivantes :

1. Cadre fonctionnel : Le problème est formulé dans des espaces de Sobolev appropriés, spécifiquement $W(0, T)$, qui s'injecte continûment dans $C(0, T; H)$ et compactement dans $L^2(0, T; H)$. L'espace $V$ (champs vectoriels à divergence nulle) et son dual sont utilisés pour traiter la contrainte d'incompressibilité.
2. Estimations a priori : En utilisant la coercivité de la forme bilinéaire associée à l'opérateur $P^\varepsilon$ et les propriétés de la forme trilinéaire représentant le terme convectif, les auteurs établissent des bornes uniformes pour la suite des solutions $(u^\varepsilon)$ dans $W(0, T)$ et $(p^\varepsilon)$ dans $L^2(0, T; L^2(\Omega))$.
3. Compacité et convergence : En s'appuyant sur les résultats de compacité de la convergence à deux échelles réitérée (Théorèmes 1 et 2), les auteurs extraient une sous-suite convergeant vers un triplet limite $(u_0, u_1, u_2)$. Ici, $u_0$ représente la limite macroscopique, tandis que $u_1$ et $u_2$ représentent les correcteurs microscopiques d'ordre un et deux associés aux échelles $y = x/\varepsilon$ et $z = x/\varepsilon^2$, respectivement.
4. Dérivation du modèle homogénéisé : En testant la formulation variationnelle avec des fonctions tests oscillantes spécifiques et en passant à la limite, les auteurs dérivent un système couplé d'équations. Cela implique la résolution de problèmes locaux de cellule sur les cellules de périodicité $Y$ et $Z$ pour définir les fonctions correctrices $\chi_{ik}$ et $\eta_{ik}$.
5. Analyse du correcteur : Sous des hypothèses supplémentaires de régularité sur le domaine et les données, l'article déduit un résultat de correcteur, prouvant que le gradient de la solution originale peut être approché par la somme des gradients de la solution macroscopique et des correcteurs microscopiques échelonnés.

Contributions et résultats clés

• Modèle homogénéisé macroscopique : L'article dérive un problème limite macroscopique unique (Théorème 5) de type Navier-Stokes. L'équation limite pour la vitesse macroscopique $u_0$ et la pression $p_0$ est :
  $$\frac{\partial u_0}{\partial t} + Q u_0 + \sum_{j=1}^N u^0_j \frac{\partial u_0}{\partial x_j} + \nabla p_0 = f$$
  où $Q$ est un opérateur différentiel homogénéisé à coefficients constants $q_{ijkh}$. Ces coefficients sont définis explicitement via des intégrales impliquant les coefficients originaux $a_{ij}$ et les solutions des problèmes de cellule sur $Y$ et $Z$.
• Unicité : L'article établit l'unicité de la solution du problème homogénéisé dérivé (Proposition 8), assurant ainsi le bon positionnement du modèle macroscopique.
• Théorème de convergence : Il est prouvé que $u^\varepsilon$ converge faiblement vers $u_0$ dans $W(0, T)$ et que les gradients convergent de manière réitérée au sens à deux échelles vers la somme des gradients macroscopiques et microscopiques (Théorème 4).
• Résultat de correcteur : Un résultat de convergence forte pour les gradients est établi (Théorème 6). Spécifiquement, sous des hypothèses de régularité appropriées, l'erreur entre le gradient réel $\nabla u^\varepsilon$ et l'approximation $\nabla u_0 + \varepsilon \nabla_y u_1 + \varepsilon^2 \nabla_z u_2$ s'annule dans la norme $L^2$ lorsque $\varepsilon \to 0$.

Portée et importance
L'auteur positionne ce travail comme une contribution à l'analyse mathématique des écoulements de type Navier-Stokes présentant des structures de viscosité complexes et multi-échelles. L'article prétend être le premier à aborder l'homogénéisation réitérée d'écoulements de fluides non linéaires instationnaires (non stationnaires) dans un cadre déterministe avec l'échelle spécifique $a_{ij}(x/\varepsilon, x/\varepsilon^2)$.

L'étude est motivée par la nécessité de modéliser des écoulements multiphasiques avec des viscosités variant spatialement. Bien que l'auteur note que l'approche peut être adaptée à des comportements de viscosité plus généraux (non périodiques), le travail actuel est strictement confiné au cadre périodique.

L'article maintient une portée modeste concernant les coefficients dépendants du temps. L'auteur déclare explicitement que l'étude suppose que les coefficients de viscosité $a_{ij}$ ne dépendent que des variables spatiales, et non du temps. La conclusion reconnaît que l'extension de ces résultats aux viscosités dépendantes du temps est une tâche difficile en raison de l'absence de résultats d'unicité et d'estimations établis pour de tels cas dans la littérature, notant que le processus d'homogénéisation actuel reste valide à condition que ces estimations et résultats d'unicité puissent être établis.

Le travail s'appuie sur les études précédentes de l'auteur concernant les écoulements en régime permanent et l'homogénéisation à échelle unique, ainsi que sur la théorie fondamentale de la convergence à deux échelles réitérée développée par d'autres chercheurs (cités comme [5], [6], [8]). Les résultats fournissent une base mathématique rigoureuse pour approximer une dynamique de fluide complexe et à oscillations rapides par un modèle macroscopique effectif plus simple.